Skalares Anfangswertproblem; Ableitungen in Abhängigkeit von f

Question

Hey! Bin am Anfang einer Numerikvorlesung und habe folgende Aufgabe bekommen.

Gegeben: y'(t) = f(t,y(t)), y(a)=y₀

zz: y ist Lösung der DGL, somit dreimal stetig differenzierbar und y'(a), y''(a) und y'''(a) sind direkt durch den Anfangswert bestimmt. Geben Sie die Ableitungen an in Termen abhängig von f.

Für y'(a) ist das noch sehr leicht. Es gilt: y'(a)=f(a,y(a))=f(a,y₀)

Weiss nun nicht wie ich genau weitermachen soll. DGL sind für mich noch sehr neu.

Kann ich f(a,y₀) irgendwie allgemein ableiten (partiell?), um dann y''(a) wieder in Abhängigkeit von f zu bekommen?

Answer 1

Hi,

welche Voraussetzungen gelten für die Funktion \( f( \cdot , \cdot ) \). \( f \) muss mindestens in jeder Variablen zweimal differenzierbar sein, also \( f \in \mathbb{C}^2 \), gilt das?

Und dann musst Du die totalen Ableitungen bilden. Also $$ y'' = f_t(t,y) + f_y(t,y) y' $$ Daraus folgt $$ y''(a) = f_t(a,y_0) + f_y(a,y_0) f(a,y_0)  $$

Und das gleiche mit der dritten Ableitung.

Comments

Ja das gilt. Und danke das hilft mir schon weiter!