Anfangswertproblem mit Ableitungen

Question

Aufgabe: Löse die folgenden Anfangswertprobleme:

y' = Wurzel(x)= y/2 mit y(1)=1

y''' -4y'' +3y' = 0 mit y(0)=3 ; y'(0)=5 ; y''(0)=11

Problem/Ansatz:

Ich habe absolut keine Ahnung wie ich das Berechnen soll und stehe total auf dem Schlauch. Vielleicht ist ja jmd. fit genug und kann mir einen Ansatz bieten.

Answer 1

Was soll $$ y'(x) = \sqrt{x} = \frac{y(x)}{2} $$ bedeuten?

Bei der zweiten Aufgabe berechne die Nullstellen der charakteristischen Gleichung. Das ergibt drei Lösungen. Deren Linearkobination ergibt die allg. Lösung der homogenen Dgl. Die Koeffizienten der Linearkombination bestimmst Du aus den Anfangsbedinungen.

Comments

sorry. ich meinte y' * Wurzel von x = y/2

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Also so $$ y'(x) \sqrt{x} = \frac{y(x)}{2} ?$$

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ja genau. kann mit beiden aufgaben überhaupt nichts anfangen... selbst mit deiner antwort nichts... stehe total aufm schlauch

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Was ist mit der charakteristischen Gleichung? Falls Du die nicht kennst, nimm als Lösungsansatz die Funktion $$ y(x) = e^{\lambda x} $$ und setze diese Funktion in die Dgl. dritter Ordnung ein und bestimme die \( \lambda \).

Die erste Dgl. kann man mittels Trennung der Variablen lösen.

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ich bekomme das absolut nicht hin.... für mcih sind diese beiden aufgaben bömische dörfer und die tatsache das ich seit jahren raus aus mathe bin macht es nicht gerade einfacher

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Gut dann mal hier eine Musterlösung

Aufgabe 1

$$ y'(x) \sqrt{x} = \frac{y(x)}{2} $$ D.h.

$$ \frac{dy}{dx} \sqrt{x} = \frac{y}{2} $$ und daraus

$$ \frac{dy}{y} = \frac{1}{2 \sqrt{x} } $$ Integration gibt

$$ \ln(y)  = \sqrt{x} + C $$ und daraus

$$ y = A e^{\sqrt{x}} $$

Aus \( y(1) = 1 \) folgt \( y(1) = A e = 1 \) d.h. \( A = e^{-1} \)

Also ist die Lösung $$ y = e^{\sqrt{x} - 1} $$

Aufgabe 2

$$ y''' - 4y'' + 3y' = 0 $$ Mit dem Ansatz \( y(x) = e^{\lambda x } \) folgt

\( y' = \lambda e^{\lambda x} \) und \( y'' = \lambda^2 e^{\lambda x} \) und \( y''' = \lambda^3 e^{\lambda x} \)

Das alles eingesetzt in die Dgl. ergibt

$$ \lambda^3 e^{\lambda x}  -4 \lambda^2 e^{\lambda x} +3 \lambda e^{\lambda x}  = 0 $$ Division durch \( e^{\lambda x} \) (Geht wegen \( e^{\lambda x} \ne 0 \) ) folgt

$$ \lambda^3 - 4 \lambda^2 + 3 \lambda = \lambda ( \lambda^2 - 4 \lambda + 3 ) = 0 $$

D.h. die Nullstellen sind \( \lambda_1 = 0 \), \( \lambda_2 = 1  \) und \( \lambda_3 = 3 \)

Damit ist die allg. Lösung

$$ y = c_1 e^{0 \cdot x} + c_2 e^{1 \cdot x} + c_3 e^{3 \cdot x } = c_1 + c_2 e^{x} + c_3 e^{3x }$$

Es gilt \( y(0) = c_1 + c_2 + c_3 = 3 \),

\( y'(0) = c_2 + 3 c_3 = 5 \) und als Letztes

\( y''(0) =  c_2 + 9 c_3 = 11\)

Jetzt das LGS lösen und Du bist fertig.