Gleichungssystem mithilfe Cramerschen Regel lösen

Question

Ich versuche mir im Selbststudium etwas Mathematik beizubringen. (Als Studiumsvorbereitung) Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestossen.

Vielen Dank für euere Hilfe!

Aufgabe:

Gesucht sind die Lösungen des folgenden Systems:

Gleichung (1) 
(b-6)*x-y=0

Gleichung (2)
bx+y=2

Mein Lösungsweg:

---- | 0 ---(-1) |
---- | 2 ----  1 |        0*1       -      (-1)*2              0   + 2               2
x = ------------- = ------------------------------  = -----------------   = ---------
---- | b-6 -(-1)|      (b-6)*1   -       (-1)*b          (b-6) + b            2b-6
---- | b ----  1 |

-----| (b-6)      0 |
-----| b            2 |      (b-6)*2    -  0*b        2b - 12
y = ----------------  = ----------------------- = -------------
-----| (b-6)   (-1) |      (b-6)*1   -  1*b          2b - 6
-----| b            1 |

Problem:

An diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter.

Ich habe noch eine weitere Aufgabe im ähnlichen Stil, dohc da habe ich genau das selbe Problem. Ich weiss nicht wo mein Fehler liegt, oder ob ich etwas übersehe, oder schlichtweg noch nicht weiss.

Die Angegebene Lösung lautet:

Determinante: Δ = 2b - 6 = 2(b-3)

Das System hat für

b ≠ 3: die eindeutige Lösung x = 1/3, y = (b-6) / 3
          die zugehörigen Geraden schneiden sich

b = 3: keine Lösung, die zugehörigen Geraden sind parallel

Answer 1

Auf die Tatsache hin, dass man keine LGS über Cramer löst sei mal hinweg gesehen.

Du hast ein Vorzeichenproblem?: Die Determinanten

\(determinantenAi \, :=  \,  \left\{ \left|\begin{array}{rr}0&-1\\-2&1\\\end{array}\right|, \left|\begin{array}{rr}b - 6&0\\b&-2\\\end{array}\right|, \left|\begin{array}{rr}b - 6&-1\\b&1\\\end{array}\right| \right\} \)

Comments

Aus welchem Grund hat deiner Meinung nach c_{2 (die Lösung der Gleichung (2)} ein negatives Vorzeichen?

Wenn ich den Lösungsweg mit geändertem Vorzeichen durchspiele erhalte ich einfach:

         -2
x =----------
        2b-6

        -2b +12
y = --------------
          2b - 6

Führt auch nicht auf die angegebene Lösung.

---

Hm, möglicherweise hatte ich einen Tippfehler (war schon spät oder früh;-) und damit das Vorzeichenproblem - Dein im Ursprungspost gerechneter Weg ist korrekt.

- also noch mal von vorne

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}b - 6&-1&0\\b&1&2\\\end{array}\right)\)

dann

\(\small determinantenAi \, :=  \,  \left\{ \left(\begin{array}{rr}0&-1\\2&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}b - 6&0\\b&2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}b - 6&-1\\b&1\\\end{array}\right) \right\} \)

ergibt

\(\small detA \, :=  \,  \left\{ 2, 2 \; b - 12, 2 \; b - 6 \right\} \)

dann bin ich bei Dir und erhalte (gekürtzt,2 ausklammern)

\(\small X \, :=  \, \left(\begin{array}{r}\frac{1}{b - 3}\\\frac{b - 6}{b - 3}\\\end{array}\right)\)

also eine Lösung für b<>3 durch Null teilt sich so schlecht...

Wie gesagt Cramer Determinanten und LGS lösen ist nicht, wie würde ein Jäger sagen, waidgerecht. Wenn Du im Selbststudium arbeitest dann lieber einen sicheren Gauß-Schritt trainieren.

---

Super, danke dir. - dann wird der Gauss - Schritt mein nächstes Thema sein dass ich mir zu Gemüte führe.

Jetzt habe ich noch eine letzte Frage.

Folgende Lösungsangabe gibt es zur Aufgabe:

"Das System hat für

b ≠ 3: die eindeutige Lösung x = 1/3, y = (b-6) / 3
          die zugehörigen Geraden schneiden sich"

Wie komme ich von

x = 1/(b-3)
zu x = 1/3?

und von y = (b-6) / (b-3)
zu y = (b-6) / 3

Ich sehe, dass bei beiden Lösungen das b und das negative Vorzeichen der Zahl 3 weg ist. Nur wieso? :) 

---

Also, wenn das die angegebene Lösung behautet, dann gehört sie nicht zu dieser Aufgabe oder es fehlt noch was.

Die Lösung dieses LGS hängt von b ab. Wenn man die Lösung angeben will dann

X=[1/(b-3),(b-6)/(b-3)] mit b<>3, ansonsten darf b beliebig gewählt werden um eine Lösung aus unendlich vielen fest zu machen.

Ich tippe auf einen Druckfehler...

BTW: Du sollest unbedingt GeoGebra ins Auge fassen. Zur Veranschaulichung, Kontrolle oder schlicht zum rechnen.

https://geogebra.org/classic

eintippen

y = 2 - b x

y= (b-6)x

ggb legt für b einen Slider an, den Du zur Darstellung verändern kannst...

Wobei auf dem häuslichen PC die 5er-Version meines Erachtens besser zu bedienen ist....

---

oh nice - das ist genial!

Vielen Dank!