Nur mal so ins Blaue hinein; hast du je vom ===> Kreuz-oder vom ===> Spatprodukt gehört? Pas mal auf, was dir Pappi zaubert.
x ( 3 | 5 | 2 ) + a y ( 0 | 1 | - 1 ) + z ( 1 | 1 1 ) = ( 0 | 1 | 2 ) | X ( 1 | 1 1 ) ( 1a )
x ( 3 | - 1 | - 2 ) + a y ( 2 | - 1 | - 1 ) = ( - 1 | 2 | - 1 ) | ° ( 0 | 1 | - 1 ) ( 1b )
Schau mal hier
http://www.schlauerlernen.de/kreuzprodukt-rechner/
Ich wollte dir nur gezeigt haben, wie sich Onkel Cramer logisch zusammen setzt; das hat nämlich alles seinen tieferen Sinn. Indem wir das Kreuzprodukt mit dem Koeffizientenvektor ( KV ) der Unbekannten z gebildet haben, wurde diese Unbekannte in einem ersten Schritt eliminiert. Als Symbol für Skalarprodukt wähle ich dieses Gradzeichen, weil das wohl deutlicher erkennbar ist als der Punkt.
Nach Anwendung des Kreuzprodukts steht der KV von y natürlich senkrecht auf dem entsprechenden KV in ( 1a ) ( Warum? ) D.h. wenn ich das Skalar-oder Spatprodukt mit dem ursprünglichen KV aus ( 1a ) bilde, geht jetzt die Unbekannte y den Bach runter; zugegeben ein sehr merkwürdiges Eliminationsverfahren. Rechnen wir zur Kontrolle die Skalarprodukte explizit nach.
x ( 3 * 0 - 1 * 1 + 2 * 1 ) + a y ( 2 * 0 - 1 * 1 + 1 * 1 ) = - 1 * 0 + 2 * 1 + 1 * 1 ( 1c )
Falls du dich wundern solltest; Das spatprodukt aus drei Vektoren ist nichts anderes als seine Determinante. In einem komplizierten Zweischrittverfahren haben wir erst z und dann y eliminiert; ich fasse zusammen
x = 3 ( 1d )
Wie kommen wir auf diese Mega umständliche Weise an die Unbekannte y ? In ( 1b ) hatten wir ja schon z eliminiert; machen wir Spatprodukt mit dem Original KV von x aus ( 1a )
x ( 3 | - 1 | - 2 ) + a y ( 2 | - 1 | - 1 ) = ( - 1 | 2 | - 1 ) | ° ( 3 | 5 | 2 ) ( 1b )
- a y = 5 ===> a y = ( - 5 ) ( 2 )
Ja schön; wenn a = 0 , wird die zweite Spalte der Cramerdeterminante Null und damit die Determinante singulär.
Es hilft nichts; für z zu berechnen, müssen wir nochmal jungfräulich von ( 1a ) beginnen und Kreuzprodukt mit dem KV von x bilden, um diese Unbekannte zu eliminieren:
x ( 3 | 5 | 2 ) + a y ( 0 | 1 | - 1 ) + z ( 1 | 1 | 1 ) = ( 0 | 1 | 2 ) | X ( 3 | 5 | 2 ) ( 1a )
a y ( 7 | - 3 | - 3 ) + z ( - 3 | 1 | 2 ) = ( - 8 | 6 | - 3 ) ° ( 0 | 1 | - 1 ) ( 3a )
- z = 9 ===> z = ( - 9 ) ( 3b )
Wenn du die Analogie in 4 711 Dimensionen zu verstehen erheischst. Schau mal im Kowalsky oder Greub Band 2 unter ===> n-Formen ===> Wedgeprodukt ( " Keilprodukt ) Ich garantiere dir du verstehst erstmals im Leben, was eine Determinante ist. Physiker sprechen auch von ===> Slaterdeterminanten.
