Können Zahlen dieses Typs prim sein? x! * (x+1)! -1

Question

Typ: x! × (x+1)! -1

Ist es möglich das diese Zahlen prim sind?

Comments

Ein Programm zum auspüren dieser Zahlen findest du hier https://www.stacklounge.de/1411/programm-zum-aufspuren-von-primzahlen-des-typs-x-x-1-1

Answer 1

Ist es möglich das diese Zahlen prim sind?

Ja. *Edit Beispiel aus dem Kommentar entfernt.

Mit dem folgenden (Java) Programm kannst Du Dich auf die Suche begeben:

public class Main {

 static int faculty(int n) {
    return n == 1 || n == 0 ? 1 : n * faculty(n - 1);
 }

 public static boolean is_prime(final int to_check) {
    final String regex = "(..+?)\\1+|.?";
    return !new String(new char[to_check]).matches(regex);
 }

 public static void main(final String... args) {
    int counter = 0;
    int to_check = 0;
       while (true) {
         to_check = faculty(counter) * faculty(counter + 1) - 1;
         if (is_prime(to_check)) {
         System.out.printf("n=%d, value=%d\n",counter,to_check);
      }
      counter++;
     }
   }
}

Als Ergebnisse erhältst Du unter anderem:

n=2, value=11
n=4, value=2879
n=5, value=86399

Comments

\(3!\cdot(3+1)!-1=143=11\cdot13\).

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...unter anderem

Was erhält man denn "unter anderem" noch?

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Was erhält man denn "unter anderem" noch?

Berechtigte Frage, Java ist danach überfordert.

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Aber könnte man nicht "long" statt "int" nehmen?

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Was erhält man denn "unter anderem" noch?

Sorry, da habe ich mich wohl unglücklich ausgedrückt. Eigentlich wollte ich andeuten, dass noch nicht bewiesen wurde, dass das die einzigen Primzahlen dieser Form sind ("unter anderem aus der Menge aller wahrscheinlich existierenden Primzahlen dieser Form").

Aber könnte man nicht "long" statt "int" nehmen?

long liefert dieselben Ergebnisse wie int :-(

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Du solltest zum Aufspüren der Zahlen übrigens lieber 

 public static boolean is_prime(final int n) { 
    if (n <= 2) { 
        return n == 2; 
    } 
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) { 
        if (n % i == 0) { 
            return false; 
        } 
    } 
    return true; 
 }

als Primzahl-Checker verwenden, da diese sehr viel performanter ist. Lasse Dich nicht durch das Paar

n=8, 1746419711

irritieren. \(1746419711\) ist zwar prim, doch die \(8\) passt nicht dazu. Dieser Fehler liegt in dem Aufbau dieses Prime-Checkers begründet.

Answer 2

2! · (2+1)! - 1 = 11 ist prim.

Answer 3

2 11
4 2879
5 86399

sind die Paare, die mein Rechner findet.

Mindestens das erste Paar hättest du eigentlich selbst finden müssen, denn das erste, was man macht, wenn man sich mit solchen Fragen beschäftigt, besteht doch wohl darin, mal ein wenig herumzuprobieren!

Es stellt sich jetzt natürlich die weiter gehende Frage, wieviele solcher Zahlen es gibt.