Steckbriefaufgabe: Metallrutsche

Question

Hallo, ich komme hier nicht weiter, gib es jemand der mir hier helfen kann?

Das Bild zeigt die vorgesehenen Maße einer Metallrutsche (Höhe: h=374cm, Breite: b=125cm), die ein Spielgeräte-fabrikant für Spielplätze konstruieren will. Das seitliche Profil der Rutsche soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades festgelegt und durch dessen Extremalpunkte begrenzt sein. (Lege das Koordinatensystem so fest, dass f(0)=h ist).

Comments

Ich habe die selbe Aufgabe und würde mich auf eine Antwort freuen

Answer 1

Wir sehen hier 2 Extrema und deshalb ist die gesuchte Funktion eine kubische Funktion

y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao 

kubische Funktionen haben maximal 2 Extrema (2 Buckel)  Anzahl der Buckel=n-1

n=höchster Exponent der ganzrationalen Funktion

abgeleitet

f´(x)=0=3*a3*x²+2*a2*x+a1

f´´(x)=0=6*a3*x+2*a2

H(0/374) T(125/0

f(0)=374=a3*0³+a2*0²+a1*0+ao  → ao=374 cm

1) f(125)=0=a3*125³+a2*125²+a1*125+374  aus T(125/0)

2) f´(0)=0=3*a3*0²+2*a2*0+1*a1  → a1=0  aus H(0/374)

bleibt

1) f(125)=0=a3*125³+a2*125²+374

2) f´(125)=0=3*a3*125²+2*a2*125

dieses lineare Gleichungssystem (LGS) schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht

1) 1953125*a3+15625*a2=374 aus T(125/0)

2) 46875*a3+250*a2=0  aus f´(125)=m=0

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=3,829*10^(-4) und a2=-1122/15625

gesuchte Funktion y=f(x)=3,829*10^(-4)*x³-1122/15625*x²+374

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.

Answer 2

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f '(x)=2ax²+2bx+c

(1) f(0)=364; 374=d

(2) f '(0)=0; 0=c

(3) f(125)=0; 0=125³a+125²b+125c+d

(4) f '(125)=0; 0=3·125²a+2·125b+c.

Löse dies System und setze die Lösungen in f(x)=ax³+bx²+cx+d ein.

Comments

so weit bin ich auch gekommen ca. jedoch habe ich mich verechnet wie ich sehe, nun ändert dies leider nichts an der lösung, dort komme ich auf nichts was richtig ist, ich bin verzweifelt.

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Wenn du (1) und (2) in (3) und (4) einsetzt, bleibt zu lösen:

0=125³a+125²b+374

0=3·125²a+250b

a≈0,00038; b≈0,072.

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gesucht ist ja der Koeffizienten von x2, wie komme ich zu den?

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Der Koeffizient von x² ist 0,072.  

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dies ist leider falsch

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Da habe ich mich wohl verrechnet. Tut mir leid.

Answer 3

Aloha :)

Die Metallrutsche soll oben und unten waagerecht sein, d.h. die Ableitungen in diesen beiden Punkten müssen \(0\) sein. Weiter sind noch die Punkte \((0|374)\) und \((125|0)\) vorgegeben. Die Ableitung einer Funktion dritten Grades ist eine Funktion 2-ten Grades, von der wir bereits zwei Nullstellen kennen. Die Ableitung sieht daher so aus:$$f'(x)=a(x-0)(x-125)=ax(x-125)=ax^2-125\,ax$$Die Rutsche hat daher die Form:$$f(x)=\frac{a}{3}x^3-\frac{125\,a}{2}x^2+b$$Die Konstante \(b\) folgt sofort aus dem Punkt \((0|374)\):$$374=f(0)=b$$Die Konstante \(a\) erhalten wir aus dem Punkt \((125|0)\):$$0=f(125)=\frac{125^3}{3}a-\frac{125^3}{2}a+374=-\frac{125^3}{6}a+374\;\;\Rightarrow\;\;a=\frac{374\cdot6}{125^3}=\frac{2244}{125^3}$$Die gesuchte Form lautet also:$$f(x)=\frac{748}{125^3}\,x^3-\frac{1122}{125^2}\,x^2+374$$

Die Zahl vor dem \(x^2\) ist also: \(\boxed{-\frac{1122}{125^2}=-0,071808}\)

~plot~ (748/125^3)x^3-(1122/125^2)x^2+374 ; {125|0} ; {0|374} ; [[-1|140|-2|390]] ~plot~