Wert einer Potenzreihe

Question

hänge schon seit 2 Tagen an einer Aufgabe fest und komme auf keinen gescheiten Ansatz:

Ich soll den Wert der Potenzreihe $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{3}*\frac{x^n}{n!}  für \in \mathbb{R} $$ bestimmen.

Mein Ansatz ist: $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^3*\frac{x^n}{n!} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2*x^n}{(n-1)!} = (\text{ weiß nicht genau ob es stimmt)} = \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)^2*x^n}{(n-1)!} + \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!} $$

wobei $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!} = x*\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^(n-1)}{(n-1)!}  =  x*e^x $$ In der zweiten Summe steht im Zähler "x hoch n-1, wird irgendwie falsch angezeigt.

Wäre dankbar für jeden Denkanstoß :)

Answer 1

Aloha :)

$$S=\sum\limits_{n=1}^\infty n^3\frac{x^n}{n!}=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\frac{x^n}{(n-1)!}=x\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$$$$\phantom{S}=x\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^2\frac{x^{n}}{n!}=x\sum\limits_{n=0}^\infty (n^2+2n+1)\frac{x^{n}}{n!}$$$$\phantom{S}=x\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\frac{x^{n}}{n!}+x\sum\limits_{n=1}^\infty 2n\frac{x^{n}}{n!}+x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{n}}{n!}$$$$\phantom{S}=x\sum\limits_{n=1}^\infty n\frac{x^{n}}{(n-1)!}+2x\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{(n-1)!}+xe^x$$$$\phantom{S}=x^2\sum\limits_{n=1}^\infty n\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+2x^2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+xe^x$$$$\phantom{S}=x^2\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)\frac{x^{n}}{n!}+2x^2\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!}+xe^x$$$$\phantom{S}=x^2\sum\limits_{n=1}^\infty n\frac{x^{n}}{n!}+3x^2\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!}+xe^x$$$$\phantom{S}=x^2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{(n-1)!}+3x^2e^x+xe^x$$$$\phantom{S}=x^3\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!}+3x^2e^x+xe^x$$$$\phantom{S}=\left(x^3+3x^2+x\right)\,e^x$$

Comments

e^x  =  ∑ xⁿ/n!                      | d/dx

e^x  =  ∑ n·x^n-1/n!                | ·x

x·e^x  =  ∑ n·xⁿ/n!                | d/dx

(1+x)·e^x  =  ∑ n^2·x^n-1/n!   | ·x

(x+x^2)·e^x  =  ∑ n^2·xⁿ/n!     | d/dx

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Wollte eigentlich keine vollständige Lösung, aber trotzdem vielen Dank. Kann ich dann jetzt nachvollziehen.

Kommst du in der 2. Zeile in der ersten Summe auf das (n+1)^2 anstatt n^2 usw, wegen dem Indexschift auf n=0.

Mit diesen Indexshifts tue ich mich immer noch schwer :(

Aber wie gesagt, vielen Dank!

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Ja genau. Beim Index-Shift starte ich bei einem n, das um 1 kleiner ist. Im Gegenzug muss ich die n in den Summanden um 1 erhöhen, also durch (n+1) ersetzen.

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Perfekt, danke!

Answer 2

Das stimmt natürlich nicht.

Du geht von der falschen Annahme aus, dass sich n² als (n-1)² + 1 darstellen lässt.

In Wirklichkeit gilt aber n²=(n-1)²+2n-1.

(Binomische Formeln!)

Comments

Hast du dann eine möglichen Ansatz?