Berechne den Wert der Potenzreihe k=0∑4^k/(k+1)!

Question

Aufgabe:

Berechne den Wert der Potenzreihe k=0∑4^k/(k+1)! (Man soll die Potenzreihendarstellung für e^x anwenden)

E
Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand helfen diesen Wert zu bestimmen. Bin gerade echt verloren. Ich habe es gefühlt schon mit allem versucht

Comments

Bin gerade echt verloren.

Ich auch. Deine Formel ist ja nicht wirklich lesbar.

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Sorry, bin neu hier und hab keine Ahnung wie man das schreibt

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hab keine Ahnung wie man das schreibt

Dann schreibs nicht...

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Wenn ich eine Frage habe... musst sie ja nicht beantworten

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Klar hast Du eine Frage. Und Du möchtest Antworten. Da könnte man es auf sich nehmen, sie in verständlicher Form aufzuschreiben. Offenbar soll k von null bis unendlich gehen. Das steht da aber nicht.

Answer 1

Du kennst die Potenzreihe für e^x?

Wende sie konkret für x=4 an.

Du brauchst nur noch eine Indexverschiebung, weil statt k! im Nenner (k+1)! steht.

Comments

Das hab ich versucht. Könntest du mal aufschreiben, wie du das machst? Danke

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Wenn wir den Index statt 0 erst bei 1 starten lassen, können wir (k+1)! auf k! runtersetzen.

Du hast dann die Potenzreihe für e^4, bei der der erste Summand 4^0/0! fehlt.

Das Ergebnis ist also e^4 - 1

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Aber wieso fehlt der Summand 4^0/0!. Ist es nicht dadurch schon umgeformt, wenn ich alle k durch k-1 ersetze? Bzw. wie verhält sich das im unendlichen. Ich versteh nicht woher die -1 kommt. Die Lösung sagt: 1/4*(e^4-1)

Answer 2

Ich interpretiere die Reihe so:

\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^k}{(k+1)!} = \frac 14 \sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{k+1}}{(k+1)!} = \boxed{\frac 14(e^4-1)}\)

Comments

Ja genau. Also woher kommen die -1. Anscheinend von einer Indexverschiebung

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@Unendlich
Kannst du als Index-Verschiebung sehen oder du kennst die Exponentialreihe.

Schreib einfach mal die ersten Glieder der e-Reihe für \(e^4\) auf und die ersten Glieder der Reihe aus obiger Lösung.

Hier noch die "mathematische" Indexverschiebung \(k+1=l \Leftrightarrow k=l-1\):

\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{k+1}}{(k+1)!} \stackrel{k+1=l}{=} \sum_{\color{blue}{l=1}}^{\infty}\frac{4^{l}}{l!} = \sum_{\color{blue}{l=0}}^{\infty}\frac{4^{l}}{l!} \color{blue}{-1}\)

Jetzt gesehen?

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Vielen vielen Dank!!!!!