(ck) sei eine Folge mit lim inf k→∞ |ck| > 0. Welchen Konvergenzradius hat die Potenzreihe ∑∞k=0 ckz^k?

Question

Aufgabe:

Sei (c_k)k≥0 eine beschränkte komplexe Folge mit lim inf _k→∞ |c_k| > 0.
Welchen Konvergenzradius hat die Potenzreihe ∑^∞_k=0 c_kz^k ? Geben Sie einen Beweis für Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es mit dem Wurzelkriterium zu arbeiten:
Es gilt: lim inf _k→∞ |c_k| > 0
⇔ lim inf k→∞ |c_k|^-1/k < 0
⇔ 1/lim sup _k→∞ |c_k| = r < 0
Demnach ist r ∈ [-∞, 0]

Ist das so ok? Falls nicht, hätte jemand Verbesserungsvorschläge?

Comments

Bevor irgend ein weiterer Gedanke bearbeitet wird: Was soll das Ergebnis bedeuten, dass der Konvergenzradius negativ ist?

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Ja stimmt. Der Konvergenzradius könnte nur 0 sein denke ich.

Answer 1

Es gilt: lim inf k→∞ |ck| > 0
⇔ lim inf k→∞ |ck|^-1/k < 0

Das stimmt so wohl nicht.

Nehmen wir mal an, dass nicht nur der lim inf sondern

sogar der Grenzwert der |c_k| existiert und ist gleich g > 0

Dann sind ab irgendeinem k alle |c_k|  ≈  g

Dann ist aber  \( \sqrt[k]{c_k} \) ≈  \( \sqrt[k]{g} \)

Und für k gegen unendlich geht \( \sqrt[k]{g} \) gegen 1.

Also vermute ich mal: Der Konvergenzradius ist 1.

Anregung zur endgültigen Lösung:

Vielleicht kann man da genauer so argumentieren wie

du angefangen hattest, aber dann

lim inf k→∞ |c_k| =  g > 0

und dann irgendwie auf  lim inf k→∞ |c_k| ^(1/k)  kommen

und |c_k| ^(-1/k) ist ja dann die Folge der Kehrwerte und da

hat man dann was über lim sup.

Comments

Ach ok verstehe. Dann hätte man nach geeigneten Umformungen:

lim inf |c_k| = g > 0
lim inf |c_k|^(1/k) = g^(1/k) > 0
lim inf |c_k|^(-1/k) = g^(-1/k)
lim sup|c_k|^(1/k) = g^(-1/k)
lim sup|ck|^(-1/k) = g^(1/k)
Wegen lim |c_k|^(1/k) = lim g(1/k) = 1 ist nun r = 1
Stimmts?

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Ich würde den 3. und den 4. Schritt weglassen .