Beweis: Teilmenge eines metrischen Raumes abgeschlossen und offen

Question

Sei (X, d) ein metrischer Raum, sei M ⊂ X  eine Teilmenge. Zeigen Sie:

(a) M ist offen ⇔ M ∩ ∂M = ∅

(b) M ist abgeschlossen ⇔ ∂M ⊂ M.

Comments

Hey! Könntest du die Definition des Randes mitgeben? Den kann man auf einige verschiedene Weisen definieren, deshalb wäre das wichtig.

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wir haben definiert: ∂M = ∂ (x \ M)

meinst du das?

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Hallo,

das meint er wahrscheinlich nicht, denn Du "definierst" Rand durch Rand - was keinen Sinn macht.

Grß MathePeter

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hey, wir haben ein sehr ähnliche Aufgabe und haben den Randpunkt y∈X so definiert, dass dieser in dem metrischen Raum X liegt und dass in jeder Umgebung von y sowohl Punkte von M als auch von X\M (also dem Komplement) liegen. Wichtig hierbei ist, dass der Randpunkt nicht in der Teilmenge selbst liegen muss.