Wie komme ich zur Lösung der Steckbriefaufgabe?

Question

Aufgabe: Die ganzrationale Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Ursprung und hat einen Wendepunkt an der Stelle x=2. An dieser Stelle beträgt die Steigung 1,5.

Bestimmen sie die Funktionsgleichung.

Wie komme ich hier zur Lösung

Answer 1

Hallo,

die allgemeine Gleichung einer Funktion dritten Grades lautet

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

Jetzt musst du die Informationen aus der Aufgabenstellung verarbeiten

berührt die x-Achse im Ursprung

$$f(0)=0 \Rightarrow d = 0\\ f'(0)=0 \Rightarrow c = 0$$

also bleibt als Gleichung und den ersten beiden Ableitungen

$$f(x) = ax^3+bx^2\\ f'(x) = 3ax^2+2bx\\f''(x)=6ax+2b$$

Wendepunkt an der Stelle x=2.

$$f''(2)=0\Rightarrow 12a+2b=0$$

An dieser Stelle beträgt die Steigung 1,5.

$$f'(2)=1,5\Rightarrow 12a+4b=1,5$$

Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, dass du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen kannst.

Gruß, Silvia

Answer 2

Die ganzrationale Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Ursprung und hat einen Wendepunkt an der Stelle \(x=2\). An dieser Stelle beträgt die Steigung \(m=1,5\)

\(f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)\)

Wendepunkt an der Stelle \(x=2\):

\(f'(x)=a(3x^2-2Nx)\)

\(f''(x)=a(6x-2N)=2a(3x-N)\)

\(f''(2)=2a(6-N)=0\)

\(N=6\)

\(f'(x)=a(3x^2-12x)\)

Wendestelle mit Steigung \(m=1,5\)

\(f'(2)=a(12-24)=-12a=1,5\)

\(a=-\frac{1}{8}\)

\(f(x)=-\frac{1}{8}(x^3-6x^2)\)