Steckbriefaufgabe: Polynom 4. Grades achsensymmetrisch / Wendetangente / Lösung

Question

 

ich hab folgendes Problem: Ich war eine Weile Krank und habe leider einiges in Mathe verpasst.

Jetzt haben wir diese Aufgabe bekommen: 

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die Achsensymmetrisch zur y-Achse ist, im Punkt W (1 | 3) einen Wendepunkt besitzt, deren Wendetangente die Steigung -2 aufweist. 

Ich denke, die allgemeine Funktionsgleichung ist:

f(x)=ax^4+bx^2+c

Dann die Infos aus dem Text folgendermaßen verarbeitet: 

f(1)= a+b+c=3

f'(1)= 4a+2b=-2

f''(1)= 12a+2b=0

Dann mit dem GTR das LGS (Lineare Gelichungssystem) "versucht" zu lösen und bekam folgendes: 

a= -0,333 ; b= 0 ; c= 3,333

Wenn ich diese Werte aber nun zur Kontrolle in die zuvor geschriebenen Formeln einsetzte, geht es leider nicht auf. 

Ich bin mir also fast sicher, dass es nicht stimmt :D

Über schnelle Hilfe würde ich mich echt freuen! 

LG  

Ps: Das hier " ^2 " soll den Exponent darstellen. 

Answer 1

Hallo db,

deine Gleichungen sind richtig. Du musst jetzt nur noch deinen Taschenrechner überzeugen, denn bei mir ergibt sich

a= 1/4

b = -3/2

c = 17/4

Gruß

Silvia

Answer 2

Gesucht ist eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades, die im Punkt W(1 | 3) eine Wendetangente mit der Steigung -2 besitzt.

 

f(x) = a·x^4 + b·x^2 + c

 

f(1) = 3 --> a + b + c = 3

f'(1) = -2 --> 4·a + 2·b = -2

f''(1) = 0  --> 12·a + 2·b = 0

 

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 0.25 ∧ b = -1.5 ∧ c = 4.25

 

Die Funktion lautet damit: f(x) = 0.25·x^4 - 1.5·x^2 + 4.25

 

Comments

Deine Gleichungen sind richtig. Du hast eventuell den Taschenrechner falsch gefüttert. sodass er dir nicht die richtige Lösung verraten wollte.

Answer 3

Wenn ich das in den "GTR" eingebe, erhalte ich 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%2Bb%2Bc%3D3+,+4a%2B2b%3D-2++,+12a%2B2b%3D0 

Ist das besser? 

Answer 4

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist, im Punkt W (1 | 3) einen Wendepunkt besitzt, deren Wendetangente die Steigung \(m=-2 \)aufweist.

Durch die Achsensymmetrie gelten die Punkte:

\( W_1(1 | 3)\)  und \( W_2(-1 | 3)\) um 3 Einheiten nach unten verschoben:

\( W_1´(1 | 0)\)  und \( W_2´(-1 | 0)\) sind 2 einfache Nullstellen:

\(f(x)=a(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)=a(x^2-1)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-x^2+N^2)\)

Wendepunkteigenschaft:

\( W_1´(1 | ...)\)

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x-2x)\)

\(f''(x)=a(12x^2-2N^2-2)\)

\(f''(1)=a(10-2N^2)=0\)

\(N^2=5\):

\(f'(x)=a(4x^3-12x)\)

Wendetangente die Steigung \(m= -2 \)

\(f'(1)=-8a=-2\)

\(a=\frac{1}{4}\):

\(f(x)=\frac{1}{4}(x^4-6x^2+5)\)

um 3 Einheiten nach oben verschoben:

\(p(x)=\frac{1}{4}(x^4-6x^2+5)+3\)