Steckbriefaufgabe: Funktion 3. Grades mit gewünschten Eigenschaften: Wendepunkt (5,2)

Question

Funktionen mit gewünschten Eigenschaften

Hallo liebe Freunde, ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe (mit Erklärung am besten, da ich das noch brauche)

Die Aufgabenstellung:

Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades geht durch den Punkt (-1;0) und hat den Wendepunkt (5;2). Die Wendetangente hat die Steigung -1.
Bestimme die Funktion

Danke schonmal für die Hilfe

Comments

Damit du nicht die ganze Nacht untätig warten musst: Lass dich bei den ähnlichen Fragen inspirieren.

Bsp: https://www.mathelounge.de/41621/ganzrationale-funktion-wendepunkt-wendetangenten-bestimmen

Answer 1

Hi,

Allgemeine Form: y=ax^3+bx^2+cx+d

Bedingungen aufstellen:

f(-1)=0   <- Da Punkt
f(5)=2    <- Da Punkt
f'(5)=-1  <- Da Steigung bekannt
f''(5)=0  <- Da Wendepunkt


Gleichungen:

-a + b - c + d = 0
125a + 25b + 5c + d = 2
75a + 10b + c = -1
30a + 2b = 0


Das löse auf (Additionsverfahren etc):

a=1/27 b=5/9 c=16/9 d=64/27


Die Funktion lautet also:

1/27*x^3+5/9*x^2+16/9*x+64/27


Grüße

Comments

Verstanden. :)


Könntest du mir vielleicht noch sagen, wie du auf die Gleichungen gekommen bist? Grüße.

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Wir haben ja gesagt, dass wir den allgemeinen Ansatz

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d haben.

Es ist also auch

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Was nun gemacht wird, ist die Bedingungen einzusetzen. Mal Beispielhaft für die zweite.

f(5)=2

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

-> a*5^3+b*5^2+c*5+d = 2

125a + 25b + 5c + d = 2


Alles klar? ;)

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Alles klar und was mach ich mit f``(x) und f´(x)?

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Du hast ja ebenfalls die Bedingungen f'(5)=-1, f''(5)=0

Dafür brauchst Du f'(x) und f''(x). Einverstanden?

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DANKE!! Verstanden. Aber letzte Frage noch hier was du sagtest:

-a + b - c + d = 0

ist das nicht eigentlich -a -b -c +d =0 ?

weil es ist ja +b(-1)²


Edit: Du hast recht bin dumm xd

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Du hast es also schon selbs gesehen? (-1)^2 = 1 ;)

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Letzte Frage:


Wie kamst du auf 75a + 10b + c = -1?

Sorry dass ich so oft nachfrage ;:S

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Wir wissen, dass aus der Steigung folgt: f'(5)=-1

Einsetzen in: f'(x)=3ax²+2bx+c

3*a*5^2 + 2*b*5 + c = -1

75a + 10b + c = -1

 

Und nachfragen ist kein Problem. Im Gegenteil zeigt es, dass Du nicht nur abschreibst, sondern Dir auch Gedanken machst. Sehr gut!

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Das ist nett:) Aber wieso 3!ax² ?

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Ursprünglich hatten wir ja:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

Das ist die allgemeine Form. Diese allgemeine Form ableiten:

f'(x)=3ax²+2bx+c

 

Dann einsetzen wie gezeigt ;).

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30a + 2b = 0

ich habe 35a +2b = 0 raus

weil es ist ja 6*5a²-1

edit: ach gott kein kommentar bin müde :D

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Die Sache dann geritzt? :D

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Gerne :)        .

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Doch noch nicht geklärt, brauchst aber nicht zu antworten kann auch morgen meinen Lehrer fragen:


Wie benutze ich das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren bei 4 Funktionenß

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Es ist keine Pflicht dieses Verfahren zu nutzen.

Du kannst auch zum Beispiel Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren verwenden. Doch werden diese schnell unübersichtlich und sind bei 4 Gleichungen nicht zu empfehlen ;).

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Hey! Ich bins nochmal.


Mein Lehrer war heute nicht in der Schule zu erreichen und ich konnte es nicht lösen ich brauche die Lösung aber bis morgen könntest du mir helfen wie ich diese 4 Gleichungen mit dem Additions- oder Subtraktionsverfahren lösen kann? :S

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Mein Vorschlag

-a + b - c + d = 0                         I
125a + 25b + 5c + d = 2           II
75a + 10b + c = -1                     III
30a + 2b = 0                               IV


II-I

-a + b - c + d = 0                         I
126a + 24b + 6c = 2                  V
75a + 10b + c = -1                     III
30a + 2b = 0                               IV


6*III-V

-a + b - c + d = 0                         I
126a + 24b + 6c = 2                  V
324a + 36b  = -8                        VI   -> 81a+9b = -2
30a + 2b = 0                               IV  -> 15a+b = 0


9*IV-VI

-a + b - c + d = 0                         I
126a + 24b + 6c = 2                  V
 81a+9b = -2                              VI
54a = 2                                      VII -> a=1/27


Wenn man das nun von unten nach oben einsetzt:

a=1/27 b=5/9 c=16/9 d=64/27


Du konntest das nachvollziehen? Alles klar?

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Ja Aber nicht wie ich nun auf b, c und d komme :S

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Na komm, das Probieren wir gemeinsam.

Aus VII haben wir erfahren -> a=1/27.

Nun gehe in VI und setze a ein. Das ist ja nun bekannt. Du erhältst daraus b.


Dann gehe in V. Setze a und b ein. Du erhältst c.

etc.


Probier es ;).

Answer 2

Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades geht durch den Punkt \(P(-1|0)\) und hat den Wendepunkt \(W(5|2)\). Die Wendetangente hat die Steigung   \(m_W=-1\).

Jede Polynomfunktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

Der Graph geht durch  \(P(-1|0)\)  und somit auch durch   \(Q(11|4)\)

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx +d\)

\(P(-1|0)\):

\(f(-1)=-a+b-c +d\)

1.) \(-a+b-c +d=0\)     → \(d=a+c-b\)

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx +a+c-b\)

\(Q(11|4)\):

\(f(11)=1331a+121b+11c +a+c-b=1332a+120b+12c \)

2.) \(1332a+120b+12c=4 \)     →\(333a+30b+3c=1 \)

\(W(5|2)\):

\(f(5)=125a+25b+5c +a+c-b=126a+24b+6c \)

3.)\(126a+24b+6c=2 \)    →  \(63a+12b+3c=1 \)

\(m_W=-1\)

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(f'(5)=75a+10b+c\)

\(75a+10b+c=-1\)

Mit Wolfram a,b und c ausgerechnet.

\(d=a+c-b\)→\(d= \frac{1}{27}+\frac{16}{9}+\frac{5}{9} =\frac{64}{27}\)

\(f(x)=\frac{1}{27}x^3-\frac{5}{9}x^2+\frac{16}{9}x +\frac{64}{27}\)

Comments

Jede Polynomfunktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

Daher wäre ein sinnvoller Ansatz:

\(f(x)=a(x-x_W)^3+c(x-x_W)\)

bzw.

\(g(x)=ax^3+cx\)

mit \(g(-1-5)=0-2\) und \(g'(0)=-1\).

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Ich habe das mit 1.)

\(f(x)=a(x-x_W)^3+c(x-x_W)\)

mal durchgerechnet.

Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades geht durch den Punkt \(P(-1|0)\) und hat den Wendepunkt \(W(5|2)\). Die Wendetangente hat die Steigung \(m_W=-1\)

\(f(x)=a(x-x_W)^3+c(x-x_W)\)

\(f'(x)=3a(x-x_W)^2+c\)

\(P(-1|0)\)

\(f(-1)=a(-1-5)^3+c(-1-5)\)

\(f(-1)=-216a-6c\)

\(-216a-6c=0\)      →\(c=-36a\)

\(f'(5)=3a(5-5)^2-36a\)        \(-36a=-1\)

\(a=\frac{1}{36}\)

\(c=-1\)

\(f(x)=\frac{1}{36}(x-5)^3-(x-5)\)

\(f(x)=\frac{1}{36}(x-5)^3-x+5\)

Die Nullstelle bei \(x=-1\) und die Steigung im Wendepunkt der errechneten Funktion sind stimmig. Der angegebene Wendepunkt  \(W(5|2)\)  liegt außerhalb des Graphen.

Zeige mir bitte, wo ich mich verrechnet habe.

2.)

\(g(x)=ax^3+cx\)

\(P(-1|0)\):

\(g(-1)=-a-c\)

\(-a-c=0\)→\(c=-a\)

\(g´(x)=3ax^2-a\)

Steigung im Wendepunkt \(W(5|2)\)

\(g´(5)=74a\)

\(74a=-1\)         \(a=-\frac{1}{74}\)       \(c=\frac{1}{74}\)

\(g(x)=-\frac{1}{74}x^3+\frac{1}{74}x\)

Hier ist keinerlei Übereinstimmung zu finden.

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Oder ist es so gemeint:

\(W(\blue{5}|\red{2})\):

Ich verschiebe den Graphen von \(f(x)\) um \(\red{2}\)  Einheiten nach unten und um \(\blue{5}\) Einheiten nach links.

\(P(-1|0)\)→ \(P´(-6|-2)\) Somit liegt der Wendepunkt im Ursprung.

u.s.w.