Bestimme eine ganzrationale Fkt, deren Graph zur y Achse symmetrisch ist. Dabei gilt dass bei (1|3) ein Wendepunkt ist und der Anstieg der Wendetangente -2 beträgt
Durch die Achsensymmetrie gilt \(W_2(-1|3)\)
Nun verschiebe ich die Koordinaten der Wendepunkte so, dass sie auf der x-Achse liegen.
\(W_1(1|3)\)→ \(W´_1(1|0)\) und \(W_2(-1|3)\) → \(W_2(-1|0)\) Nun weiter mit der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4. Grades.
\(f(x)=a[(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)]\\=a[(x^2-1)(x^2-N^2)]\\=a[x^4-N^2x^2-x^2+N^2]\)
Wendetangente \(m=-2\) Jetzt muss die Funktion \(f\) abgeleitet werden.
\(f'(x)=a[4x^3-2N^2x-2x]\)
\(f'(1)=a[4-2N^2-2]\\=a[2-2N^2]=-2\)
\(a=\frac{-2}{2-2N^2}=\frac{1}{N^2-1}\) mit \(N^2≠1\)
Wendepunkteigenschaft nutzen:
\(f'(x)=\frac{1}{N^2-1}[4x^3-2N^2x-2x]\)
\(f''(x)=\frac{1}{N^2-1}[12x^2-2N^2-2]\)
\(f''(1)=\frac{1}{N^2-1}[10-2N^2]=0\)
\(N^2=5\)
\(a=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4}\)
\(f(x)=\frac{1}{4}[x^4-6x^2+5]\)
Nun muss der Graph von \( f\) um 3 Einheiten nach oben verschoben werden und einen neuen Namen erhalten.
\(p(x)=\frac{1}{4}[x^4-6x^2+5]+3\)
