Bijektivität einer Komposition

Question

Ich soll herausfinden, ob es für die Mengen A, B und C und die Abbildungen

f : A -> B  (nicht-surjektiv)

g: B -> C (injektiv)

eine bijektive Kompistion g • f geben kann.

Ich weiß, dass wenn eine Abbildung bijektiv ist, es auch eine Umkehrfunktion gibt. Dazu müssen ja im Falle der Komposition glaub ich sowohl f als auch g Umkehrfunktionen besitzen? Aber da f nicht surjektiv ist, kann es keine Umkehrfunktion geben, also auch nicht für die Komposition?

Kann ich daraus dann folgern, dass es keine bijektive Komposition gibt, oder muss das noch genauer bewiesen werden und wenn ja, wie fange ich damit an?

Answer 1

Aloha :)

\(f:A\to B\) ist nicht-surjektiv. Das heißt, mindestens ein Element der Zielmenge \(B\) wird nicht erreicht, nennen wir es \(b_0\). Die Funktion \(g:B\to C\) ist injektiv, das heißt jedes Element aus \(C\) wird höchstens 1-mal erreicht. Nun fehlt aber \(b_0\) in der Komposition \(g\circ f\) der Funktionen als Argument für \(g\). Also wird das Element \(g(b_0)\) aus der Menge \(C\) nicht mehr erreicht. Die Komposition \(g\circ f\) ist also nicht injektiv und daher auch nicht bijektiv.