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ich komme einfach nicht weiter:

Seien \( f:M\rightarrow N \) und \( g:N\rightarrow O \)  Abbildungen. Zu zeigen ist:

Sind f und g bijektiv, so auch \( g \circ f \) und es gilt \( (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \).


Danke!❤️

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1.) z.Z.: \(g\circ f\) ist bijektiv, d.h. injektiv und surjektiv.

Injektivität:

Angenommen \((g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)\) für \(x,y\in M\).

Nach Definition der Komposition folgt \(g(f(x))=g(f(y))\).

Da \(g\) injektiv ist, folgt \(f(x)=f(y)\).

Da \(f\) injektiv ist, folgt \(x=y\).

Damit ist \(g\circ f\) injektiv.


Surjektivität:

Sei \(o\in O\) beliebig.
Da \(g\) surjektiv ist, existiert zu diesem \(o\) ein Urbild \(n\in N\) mit \(g(n)=o\).
Da \(f\) surjektiv ist, existiert zu diesem \(n\) ein Urbild \(m\in M\) mit \(f(m)=n\).
Also folgt \(g(f(m))=o\), zu \(o\) existiert also das Urbild \(g(f(m))\).
Damit ist \(g\circ f\) surjektiv.

Insgesamt ist \(g\circ f\) bijektiv.

2.) z.Z. \((g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}\).
Da es zu jeder bijektiven Funktion genau eine inverse Funktion gibt (und \((g\circ f)^{-1}\) ja bereits die inverse Funktion zu \(g\circ f\) ist) reicht es zu zeigen, dass \((g\circ f)(f^{-1}\circ g^{-1}) = (f^{-1}\circ g^{-1})(g\circ f)=id_O\).
Hier wirst du die Assoziativität der Komposition von Funktionen anwenden können (das sollte sich hier nicht als allzu schwer herausstellen).

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