Beweis: Komposition zweier bijektiver Abbildungen

Question

ich komme einfach nicht weiter:

Seien $f:M\rightarrow N$ und $g:N\rightarrow O$  Abbildungen. Zu zeigen ist:

Sind f und g bijektiv, so auch $g \circ f$ und es gilt $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

Danke!❤️

Answer 1

1.) z.Z.: $g\circ f$ ist bijektiv, d.h. injektiv und surjektiv.

Injektivität:

Angenommen $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)$ für $x,y\in M$.

Nach Definition der Komposition folgt $g(f(x))=g(f(y))$.

Da $g$ injektiv ist, folgt $f(x)=f(y)$.

Da $f$ injektiv ist, folgt $x=y$.

Damit ist $g\circ f$ injektiv.

Surjektivität:

Sei $o\in O$ beliebig.
Da $g$ surjektiv ist, existiert zu diesem $o$ ein Urbild $n\in N$ mit $g(n)=o$.
Da $f$ surjektiv ist, existiert zu diesem $n$ ein Urbild $m\in M$ mit $f(m)=n$.
Also folgt $g(f(m))=o$, zu $o$ existiert also das Urbild $g(f(m))$.
Damit ist $g\circ f$ surjektiv.

Insgesamt ist $g\circ f$ bijektiv.

2.) z.Z. $(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}$.
Da es zu jeder bijektiven Funktion genau eine inverse Funktion gibt (und $(g\circ f)^{-1}$ ja bereits die inverse Funktion zu $g\circ f$ ist) reicht es zu zeigen, dass $(g\circ f)(f^{-1}\circ g^{-1}) = (f^{-1}\circ g^{-1})(g\circ f)=id_O$.
Hier wirst du die Assoziativität der Komposition von Funktionen anwenden können (das sollte sich hier nicht als allzu schwer herausstellen).