Das sieht leider nicht gut aus. zB. \( e_{\sigma(1)} \circ e_{\tau(1)} \) ist eine Komposition von Vektoren, was soll das sein?
zz ist \( F(\sigma\circ\tau) = F(\sigma) \cdot F(\tau) \). Das sind zwei Matrizen, also zeigt man, dass diese in jedem Eintrag übereinstimmen. Schauen wir uns mal die linke Seite an: $$ F(\sigma\circ\tau) = P_{\sigma\circ\tau}^T = (e_{(\sigma\circ\tau)(1)},...,e_{(\sigma\circ\tau)(n)}) $$ Das heißt in der j-ten Spalte steht der \( (\sigma\circ\tau)(j) \)-te Einheitsvektor und somit ist nur in der \( (\sigma\circ\tau)(j) \)-ten Zeile eine Eins und sonst überall Nullen. Ausgedrückt mit dem Kronecker-Delta: $$ F(\sigma\circ\tau)_{i,j} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} $$ Wir befinden uns in der j-ten Spalte, und in der i-ten Zeile steht hier nur eine Eins falls \( i = (\sigma\circ\tau)(j) \) und sonst eine Null.
Und jetzt untersuchen wir die rechte Seite: $$ F(\sigma) \cdot F(\tau) = P_\sigma^T \cdot P_\tau^T $$ und betrachten auch jetzt hier die einzelnen Einträge: $$ (F(\sigma) \cdot F(\tau))_{i,j} = (P_\sigma^T \cdot P_\tau^T)_{i,j} = \sum_{k=1}^n (P_\sigma^T)_{i,k} \cdot (P_\tau^T)_{k,j} $$ Das ist einfach die Definition des Matrix-Produkts, die solltest du auf jeden Fall kennen. Mit der gleichen Überlegung wie oben erhält man \( (P_\sigma^T)_{i,k} = \delta_{i,\sigma(k)} \) und \( (P_\tau^T)_{k,j} = \delta_{k,\tau(j)} \) und jetzt schauen wir uns mal die Summanden an: $$ \begin{aligned} (P_\sigma^T)_{i,k} \cdot (P_\tau^T)_{k,j} = \delta_{i,\sigma(k)} \cdot \delta_{k,\tau(j)} = 1 &\iff \delta_{i,\sigma(k)} = 1 \text{ und } \delta_{k,\tau(j)} = 1 \\&\iff i=\sigma(k) \text{ und } k = \tau(j) \\&\iff \sigma^{-1}(i) = k \text{ und } k = \tau(j) \\&\iff \sigma^{-1}(i) = \tau(j) \text{ und } k = \tau(j) \\&\iff i = (\sigma\circ\tau)(j) \text{ und } k = \tau(j) \end{aligned} $$ Also können wir auch schreiben \( \delta_{i,\sigma(k)} \cdot \delta_{k,\tau(j)} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} \cdot \delta_{k,\tau(j)} \) und das setzen wir jetzt in die Summe ein, den ersten Faktor können wir rausziehen da er nicht von k abhängt: $$ \sum_{k=1}^n (P_\sigma^T)_{i,k} \cdot (P_\tau^T)_{k,j} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} \underbrace{ \sum_{k=1}^n \delta_{k,\tau(j)}}_{=1} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} $$ Beachte hier, dass es eben nur genau ein k mit \( k = \tau(j) \) gibt, das folgt aus der Bijektivität der Permutation. Insgesamt haben wir also nachgerechnet, dass die Matrizen in jedem Eintrag übereinstimmen: $$ F(\sigma\circ\tau)_{i,j} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} = (F(\sigma) \cdot F(\tau))_{i,j} $$ also sind die Matrizen auch insgesamt gleich: \( F(\sigma\circ\tau) = (F(\sigma) \cdot F(\tau)) \).
Das war jetzt sehr ausführlich, den Rest der Aufgabe bekommst du bestimmt auch alleine hin. Tipps:
F ist injektiv <=> kern F = { id } (Mit id meine ich die Identität)
Um die Surjektivität zu widerlegen reicht tatsächlich ein einfaches Gegenbeispiel, also gib eine invertierbare Matrix an, die nicht von F getroffen wird. Beachte dabei allerdings, dass die Charakteristik von K auch =2 sein kann. Arbeite also am Besten nur mit den Zahlen 0 und 1.
