Untervektorräume Beweisen und Widerlegen

Question

Aufgabe:

Untervektorräume

Beweisen oder widerlegen Sie, dass \( U \) ein Untervektorraum vom ℝ-Vektorraum \( V \) ist, wobei...

(a) \( V:=\mathbb{R}^{2} \) und \( U:=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} | 2 a=3 b\right\} \) seien.

(b) \( V:=\mathbb{R}[X] \) und \( U:=\{f(X) \in \mathbb{R}[X] | f(X) \text { hat die Nullstelle } 1\} \) seien. Tipp: Satz 1.4.12

(c) \( V:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) und \( U:=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | \exists x \in \mathbb{R}: f(x)=1\} \) seien.

 Kann mir jemand bitte helfen und es ein wenig formal für b und c vormachen? Klar muss man Vektoren addieren und r*Vektor rechnen und wenn es immer noch der Definition entspricht ist der Beweis erbracht aber fürs richtige Aufschreiben brauche ich mal einen Rat oder jemand der es vormacht damit ich es auch machen kann in Zukunft.

:)

Answer 1

c) Das ist kein Unterraum; denn wenn zwei je eine Stelle x haben mit f(x) = 1,

dann muss die Summe der beiden das nicht unbedingt haben, etwa

f(x) = g(x) = 1 + x^2 haben beide f(0)=1 , aber f+g hat eine solche Stelle nicht;

denn     2+2x^2 = 1  führt auf

                  x^2 = - 1/2  was in R keine Lösung hat.

bei a) und b) ist es jeweils ein Unterraum.

zu b) müsstest du mal Satz 1.4 .12 zitieren,

Comments

Satz 1.4.12. (neu) Sei (K,+,·,0,1) ein Körper. Sei p(X) ∈ K[X] mit deg(p(X)) ≥ 1.
(a) Ist a ∈ K eine Nullstelle von p(X), so gibt es genau ein q(X) ∈ K[X] mit
p(X) = (X −a)·q(X).
Für dieses q(X) gilt deg(q(X)) = deg(p(X))−1.
(b) Das Polynom p(X) hat höchstens deg(p(X)) Nullstellen.

Beweis. Wir lassen den Beweis hier aus, weil er einige technische Hilfsmittel erfordert. Man kann ihn beispielsweise aus Erkenntnissen zur „Polynomidivision mit Rest“ folgern. (Sie finden mehr dazu z.B. in [Kle12].)

Vielen Dank erstmal für deine Antwort :) Und was meinst du mit "denn wenn zwei je eine Stelle x haben mit f(x) = 1, dann muss die Summe der beiden das nicht unbedingt haben"? Also was ist mit den zwei gemeint? Was ist mit "die beiden" gemeint?

Vielen Dank :)

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Es geht doch um Abbildungen von R nach R.

Zwei davon meinte ich.

Bei meinem Gegenbeispiel sind die zwei sogar beide gleich.

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Okay vielen Dank, stimmt! :)

Hast du was zu b mit dem Satz anfangen können?

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Für b) braucht man doch den Satz gar n icht:

Sind f und g Polynome mit der Nullstelle 1, dann gilt

f(1)=0   und g(1)=0

also auch (f+g)(1) = f(1)+g(1)=0

und für alle c aus R   gilt auch cf hat die

Nullstelle 1, denn (cf)(1) = c*f(1) = c*0 = 0 .

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Vielen Dank!!! :)