Körper beweisen oder widerlegen

Question

Sei K ein Körper und A = (aij ) ∈ Mat n×n(K) mit aij = 0 für alle  i ≥ j. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: A^n = 0

Versteht jemand diese Aufgabe? Ich weiss nicht Mal wirklich was ich machen muss. Danke!

Answer 1

Sei K ein Körper

Zum Beispiel \(K=\mathbb{R}\).

A = (aij ) ∈ Mat n×n(K)

\(A\) ist eine \(n\times n\)-Matrix mit Einträgen aus \(\mathbb{R}\).

Nehmen wir als Beispiel \(n = 4\).

aij = 0 für alle i ≥ j

Zum Beispiel

        \(A = \begin{pmatrix}0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\).

Aⁿ = 0

Berechne \(A^4\). Du wirst feststellen, dass du die Nullmatrix bekommst.

was ich machen muss

Du musst untersuchen ob du unabhängig von der Wahl von \(K\), \(n\) und \(A\) immer die Nullmatrix bekommst.

Dann musst du darüber eine Vermutung aufstellen.

Dann musst du du deine Vermutung beweisen.

Answer 2

Mache dir z.B. mit ein paar Beispielen klar, dass \(A\) auf der Diagonalen

und auch unterhalb der Diagonalen nur Nullen hat.

Damit hat das charakteristische Polynom \(p_A(X)=\det(XI_n-A)\) die Gestalt

\(p_A(X)=X^n\). Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix ist nämlich

das Produkt ihrer Diagonalelemente, die hier alle \(=X\) sind.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist \(A\) Nullstelle

seines charakteristischen Polynoms, also \(A^n=p_A(A)=0\).