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Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie:
Jeder vollständige Verband ist endlich.


Problem/Ansatz:

Müsste falsch sein, zumindest steht überall im Internet das jeder endliche Verband auch vollständig ist. Deshalb gehe ich davon aus das wenn es nicht explizit gesagt wird, die Gegenrichtung nicht zwingend der Fall ist. Aber wie Beweise ich das. Ich brauche eigentlich nur ein Gegenbeispiel für einen vollständigen Verband der unendlich ist, oder? kann mir da jemand helfen?

Wäre zb die total geordnete Menge ℕ ein vollständiger Verband der unendlich ist? Ich glaube eigentlich ℕ ist kein Vollständiger Verband.

Wäre dieser flache Verband der ganzen Zahlen ein vollständiger Verband der unenglich ist: ?blob.png

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Beste Antwort

Sei \(M\) eine beliebige Mange, dann ist die Potenzmenge \(P(M)\), versehen

mit der Halbordnung "\(\subseteq\)" ein vollständiger Verband.

\(P(\mathbb{N})\) ist damit ein unendlicher vollständiger Verband und

liefert ein Gegenbeispiel.

Avatar von 29 k

Kann ich den Verband so schreiben:
(P(ℕ), ⊆)

als mein Gegenbeispiel?

Ja. Genau :-) \(\;\;\;\;\)

Alles klar. Verstehe. Vielen Dank für die Hilfe. :)

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Gefragt 22 Nov 2021 von Limia
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