Untergruppe beweisen oder widerlegen

Question

Hallo, kann mir einer weiterhelfen bei der folgenden Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie: In S4 gibt es eine Untergruppe isomorph zu Z²₂ = Z₂ ×Z₂^.

Ich komme leider nicht weiter und wäre über jede Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Es handelt sich um die Kleinsche Vierergruppe

\(V_4=\{id,\; (1\;2)(3\;4),\;(1\;3)(2\;4),\;(1\;4)(2\;3)\}\).

Man rechnet leicht nach, dass es sich um eine Untergruppe

von \(S_4\) handelt. Eine Gruppe der Ordnung 4 ist

isomorph zu \(Z_4\) oder \(Z_2\times Z_2\). Da alle Elemente

von \(V_4\) eine Ordnung < 4 haben, muss \(V_4=Z_2\times Z_2\)

gelten.