Analysis - Extremwert Rechtwinkliges Trapez soll maximal werden.

Question

Bild: 

Aufgabe:
Gegeben sind die Geraden \(g_1\) und \(g_2 : y = 3.5x.\)
Das Viereck ABCD ist ein Viereck mit maximalem Flächeninhalt. 

Gesucht sind die Koordinaten von \(C\) und \(D\) sowie der Flächeninhalt \(A.\) 


Was habe ich bis jetzt ? 

Ich habe die fallende gerade \(g_1\) bestimmt: 

\(g_1: -x+8\)


Die Koordinaten daraus abgeleitet:
Deswegen kann ich sagen, dass folgende Koordinaten gültig sind: 

A ( 0 | 0 )
B ( x_{B} | 0 )
C ( x_{B} | -x+8 )
D ( x_{D} | 3.5x ) 


Flächenformel:
Nun muss ich die Formel für das Rechwinklige Trapez herausfinden.
Benutze ich obige Koordinaten, so erhalte ich: 

\( A_{Max} =  \frac{-2(x_B)^2 + 16x_B + x_D*x_B - 8x_D }{2}  \)

Das ist nun die Zielfunktion (wenn ich alles korrekt gemacht habe).
Diese soll jetzt aber maximal werden. 

Problem:
Wie kriege ich das hin, ich kann hier noch nicht ableiten, denn ich habe \(x_B\) und \(x_D\) die nicht gleich sind. 

Answer 1

C ( x_{B} | -x_B+8 )
D ( x_{D} | 3.5x_D )

Die y-Werte sind gleich, also -x_B+8=3.5x_D 

x_B=8-3.5x_D

Dann nimmst du x_D als x und kannst ableiten.

Zum Flächeninhalt:

A=0.5(a+c)*h

=0.5*(x_B+x_B-x_D)*3.5x_D

=0.5*(2x_B-x_D)*3.5x_D

=(x_B-0.5x_D)*3.5x_D

=(8-3.5x_D-0.5x_D)*3.5x_D

=(8-4x_D)*3.5x_D

=28x_D-14x_D^2

$$A(x)=28x-14x^2$$

Ohne Gewähr :-)

Comments

Heisst das, dass ich nach zb \(x_B\) auflösen kann und dann erhalte ich im besten Fall eine Funktion nur in Abhängigkeit von \(x_D\) ?

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Hab ich gerade ergänzt. :-)

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Super, vielen Dank ! 

Hab ich die Formel für die Fläche des Trapezes richtig aufgestellt ?

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Gute Frage, muss ich erst nachrechnen.  :-)

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Also wenn diese Formel stimmt, 
so komme habe ich nach x_B = 8 - 3.5x_D aufgelöst und das x_B in die Flächenformel eingesetzt. 

Danach Abgeleitet und die erste Ableitung nullgesetzt. 

So bekomme ich ein x_D = 0.37 was ein Maximum ist. 

Wenn ich das dann zurück in die Formel einsetze, bekomme ich für x_B = 6.7

Kann man das überprüfen ? 

Ich habe leider keine Lösungen.

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Ich komme auf x=1 und A(1)=14.

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I see, du hast die Flächenfunktion anders als ich, di hast die höhe aus dem Punkt D genommen.

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Ableiten liefert x=1.

x=1, also x_D=1 und x_B=4,5

h=3.5x_D=3.5 oder h=8-x_B=3.5

a=x_B=4,5, c=x_B-x_D=3,5, h=3,5

A=0.5(4.5+3.5)·3.5=14

Answer 2

Aloha :)

$$F=x_B\,g_1(x_B)-\frac{1}{2}x_D\,g_2(x_D)=x_B\,g_1(x_B)-\frac{1}{2}\left(\frac{g_2(x_D)}{3,5}\right)g_2(x_D)$$$$\phantom{F}=x_B\,g_1(x_B)-\frac{1}{7}g_2^2(x_D)=x_B\,g_1(x_B)-\frac{1}{7}g_1^2(x_B)$$$$\phantom{F}=x_B(-x_B+8)-\frac{1}{7}(-x_B+8)^2=-x_B^2+8x_B-\frac{1}{7}(x_B^2-16x_B+64)$$$$\phantom{F}=-\frac{8}{7}x_B^2+\frac{72}{7}x_B-\frac{64}{7}=\frac{1}{7}(72x_B-8x_B^2-64)$$Notwendige Bedingung für Extremwert:$$0=F'(x_B)=\frac{1}{7}(72-16x_B)\quad\Rightarrow\quad x_B=\frac{72}{16}=4,5$$Damit haben wir:$$C(4,5|3,5)\quad;\quad D(1|3,5)\quad;\quad F_{max}=14$$