Wie komme ich hier auf u? Es geht um eine Fläche, die maximal groß werden soll

Question

Ich wiederhole grade alles fürs Abitur und stehe jetzt voll auf dem Schlauch..ich hab hier ein Übungsheft von der Schülerhilfe mit Abituraufgaben. Ich hab zwar die Lösungen, aber die helfen mir jetzt grade nicht weiter, weil hier steht, dass mit einem GTR  mit "2nd TRACE maximum" der Wert für u berechnet wurde und gerundet 2,34 rauskommt, aber ich muss das ja per Hand machen, weil ich einen fx-991DE PLUS hab, also ka, ob mein Tr sowas auch kann, aber mal zur Aufgabe

Ich hatte hier die Funktion f(X)=1/8*x^{4}-4x gegeben.

bei der a) sollte ich Schnittpunkte, Extrema und Wendepunkte berechnen und den Graphen für -1 ≤ x ≤ 3,5 berechnen

bei der b)sollte ich den Inhalt der Fläche A berechnen, die von einer Normalen im Koordinatenursprung und K(dem graphen von begrenzt wird

hab ich beides verstanden und auch richtig, aber jetzt bei der c) komm ich einfach nicht weiter:

P(u|v) sei ein Punkt auf K mit negativer Ordinate (ich weiß also, dass der im negativen bereich ist).

Wie ist P zu wählen, damit das Dreieck P(u|v), Q(u|0) und O (0|0)einen maximalen Flächeninhalt A₂ besitzt.

Meine Lösungsansätze:Ich weiß, dass P ein Punkt von K ist und das der kleiner sein muss wie 0. In meinem Heft steht ja auch f(u)<0.

Ich hab die Formel für den Flacheninhalt eines Dreiecks: A₂=-1/2 *f(u) *u

hab das ausgerechnet und komm auf A₂=-1/16 *u⁵ + 2u²

Dann dachte ich mir, dass ich die 2.Ableitung brauche, um etwas über das Krümmungsverhalten rauszufinen, aber von f? f"(u)=3/2*u²...Muss ich jetzt, um auf u zu kommen f mit 0 gleichsetzten? Oder wenn das nicht stimmt, wie komm ich da sonst drauf? Ich komm hier durcheinander..

Answer 1

P(u|v) sei ein Punkt auf K mit negativer Ordinate.
Wie ist P zu wählen, damit das Dreieck P(u|v), Q(u|0) und O (0|0)einen maximalen Flächeninhalt \(A_2\) besitzt.

\(f(x)=\frac{1}{8} \cdot x^4-4x\)

Zielfunktion (Hauptbedingung):

\(A_2(u,v)=\frac{1}{2}u \cdot v\) soll maximal werden.

Nebenbedingung:

\(v=\frac{1}{8} \cdot u^4-4u\)

\(A_2(u)=\frac{1}{2}u \cdot (\frac{1}{8} \cdot u^4-4u)\)

\(A'_2(u)=\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8} \cdot u^4-4u)+\frac{1}{2}u \cdot (\frac{1}{2}u^3-4)\)

\(\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8} \cdot u^4-4u)+\frac{1}{2}u \cdot (\frac{1}{2}u^3-4)=0\)

\((\frac{1}{8} \cdot u^4-4u)+(\frac{1}{2}u^4-4u)=0\)

\(\frac{5}{8} \cdot u^4-8u=0\)

\(5 \cdot u^4-64u=0\)

\( u\cdot(5 u^3-64)=0\)

\( u_1=0\) wäre minimal

\( u^3=\frac{64}{5}\)

\( u_2=\sqrt[3]{\frac{64}{5}}\)

\(v=\frac{1}{8} \cdot (\sqrt[3]{\frac{64}{5}})^4-4\sqrt[3]{\frac{64}{5}}\)

Answer 2

Du musst einfach nur das Maximum von A₂=-1/16 *u⁵ + 2u² 

bestimmen. Also 1. Ableitung = 0 und

dann das u  in die 2. Abl. einsetzen und schauen, ob die  ^{negativ ist.}

Comments

okay, ich versuch das mal danke :)