Fernsehkabel: Was ist die billigste Route, wenn das Unterwasserkabel 50 € pro m kostet?

Question

Ein Fernsehkabel soll durch einen 100m breiten Fluss von der Verteilerstelle am Ufer zu einem Gebäude am anderen Ufer verlegt werden, das ½ km flussaufwärts liegt. Was ist die billigste Route, wenn das Unterwasserkabel € 50,−− pro m kostet und 1m Kabel entlang des Ufers € 30,−−?

Comments

Du musst doch mit dem Kabel sowieso durchs Wasser !

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... oder übers Wasser. Schön wären auch Angaben zum Fluss selbst. Ist er gekrümmt? Wie breit ist er? Spielt das Profil des Flussbettes eine Rolle?

Answer 1

Erst mal Skizze:

x m am Ufer lang und dann schräg rüber nach B gibt

für das schräge Stück y  die Gleichung  y^2 = 100" + (500-x)^2

also y = wurzel(x^2 - 1000x + 260000)

Kosten:  k(x) =30x + 50y =  30x + 50* wurzel(x^2 - 1000x + 260000)

k `(x) = 30 + (50x - 25000)/wurzel(x^2 - 1000x + 260000)

k `(x) = 0  gibt    -30*wurzel(x^2 - 1000x + 260000)=50x - 25000   quadrieren

900(x^2 - 1000x + 260000) = (50x - 25000  )^2

und dann das x ausrechnen.

Answer 2

K(x) = 30·(500 - x) + 50·√(100^2 + x^2)

K'(x) = 10·(5·x - 3·√(x^2 + 10000)) / √(x^2 + 10000) = 0 --> x = 75 m

500 - 75 = 425 m

Das Kabel sollte 425 m am Ufer entlang geführt werden und dann quer durchs Wasser gelegt werden.