Punkte des Graphen bestimmen, Tangente durch den Ursprung

Question

ich bleibe gerade bei folgender Aufgabe hängen: Bestimmen Sie die Punkte P des Graphen so, dass die Tangente in P durch den Ursprung geht. Überprüfen Sie das Ergebnis am Graphen von f.

 f(x)=x hoch 2 - 4x + 9

Danke für die Hilfe :)

Answer 1

Wenn die Tangente durch P , durch den Ursprung geht, hat sie

die Steigung  m = f(x) / x . Andererseits muss die Steigung gleich f ' (x) sein.

Also ( x^2 - 4x + 9) / x  = 2x-4    | *x

            x^2 - 4x + 9  = 2x^2 -4x

                      0 = x^2 - 9

Die gesuchten Punkte haben die x-Koordinaten 3 und -3.

~plot~  x^2 - 4x + 9; 2x;-10x; [[-5|5|-1|50]] ~plot~

Answer 2

Ansatz Punkt-Steigungsform: f'(x)=\( \frac{f(x))-0}{x-0} \)

oder 2x+4=\( \frac{x^2+4x+9}{x} \). Dann ist x=±3 und f(3)=6.

Die Gerade durch (0|0)und (3|6) ist eine Tangente durch (0|0) und ebenfalls die Gerade durch (0|0)und (-3|6).