Zeigen Sie dass die Teleskopreihe konvergiert, wenn ...?

Question

miteinander,

seit stunden sitze ich am lernen für eine Klausur aber diese folgende Aufgabe geht nicht in meinen Kopf und es gibt auch keine Lösung dafür -.- . Ich hoffe irgendwer kann mir helfen . Die Aufgabe lautet wie folgt :

Sei {x_n} eine Folge komplexer Zahlen und m ∈ N. Zeigen Sie, dass die Teleskopreihe : \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{a -b} \) mit a = x_k+m und b = x_k genau dann konvergiert, wenn \( \lim\limits_{n\to\infty} \) x_n existiert.

Zeigen Sie in diesem Fall, dass \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{a -b} \) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) x_n - \( \sum\limits_{k=0}^{m-1}{b} \) gilt.

Also den ersten Teil hab ich soweit (glaub ich jedenfalls) gezeigt und geschafft, aber bei dem 2. Teil komme ich net voran. Ich hab da gar nichts und bräuchte dringend etwas. Wäre sehr lieb, wenn jemand mich rettet /:

(Ps Ich musste a und b als Platzhalter benutzen, da es nicht ganz mit der Darstellung sonst geklappt hatte, aber hoffe es ist trotzdem klar wofür a und b stehen )

Comments

Ich halte beide Teile für falsch.

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Inwiefern ? Das ist eine offizielle Aufgabe von der Uni xD Denk mal nicht, dass sie falsch ist

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$$ \sum_{k=0}^N (x_{k+m} - x_k ) = \sum_{k=N+1}^{N+m} x_k - \sum_{k=0}^{m-1} x_k  $$ Daraus folgt $$ \sum_{k=0}^\infty (x_{k+m} - x_k ) = m \lim_{k\to\infty} x_k - \sum_{k=0}^{m-1} x_k  $$

Wenn also \( x_k \) konvergiert, konvergiert auch die Teleskopsumme.

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Hast du jetzt damit die ganze Aufgabe bewiesen/ gezeigt oder bezieht sich deine Ausführung nur auf den 2. Teil der Aufgabe ?

Ich frage das nur weil mich das verwirrt, falls es die ganze Aufgabe sein sollte, da ich ja den Anfang hab, aber eben anders begründet habe.

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Um "genau dann, wenn" nachzuweisen fehlt noch der Beweis für die Rück-Richtung.

Answer 1

(1.)

Zu einem ist die Aussage in Deiner Aufgabenbeschreibung falsch. Dort steht $$ \sum_{k=0}^\infty (x_{k+m} - x_k ) = \lim_{k\to\infty} x_k - \sum_{k=0}^{m-1} x_k  $$ wie oben gezeigt muss es aber heissen $$ \sum_{k=0}^\infty (x_{k+m} - x_k ) = m \lim_{k\to\infty} x_k - \sum_{k=0}^{m-1} x_k $$ Da ist ein \( m \) vergessen worden. Entweder von Dir oder in der Aufgabenstellung.

(2.)

Es gilt $$ \sum_{k=m}^{m+N} ( x_{k+1} - x_k ) = x_{N+m+1} - x_m  $$ und der Grenzwert der linken Seite ex. nach Voraussetzung, da die Partialsummen der Teleskopsumme für jedes \( m \in \mathbb{N} \) konvergieren und somit auch die Reihenreste. Also ex. auch \( \lim_{k\to\infty} x_k \)

Comments

Ich schrieb ja ganz oben, dass beide Aussagen falsch seien.

Den Fehler im zweiten Teil hast du berichtigt.

Du solltest also jetzt eher versuchen, auch den Fehler im ersten Teil zu finden statt unmögliche Beweise zu kreieren.

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Also ja ihr habt alle Recht, dass m wurde in der Aufgabenstellung vergessen und wurde jetzt auch endlich korrigiert. Aber wo beweist ihr denn dass diese Aussage mit dem m gilt ? Den 1. Part der Aufgabe mit dem, dass der lim xk existiert hab ich doch schon, aber die Aussage am Schluss der Aufgabenstellung ist noch nicht gelöst oder seh ich das falsch?

@gasthj2166 inwiefern ist da noch ein Fehler drinnen

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Der Fehler liegt in der Annahme, man könne bei gegebener Folge (x_k) und bei gegebenem Versatz m aus der Konvergenz der Teleskopreihe auf die Konvergenz von (x_k) schließen.

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Dann würde ich mal ein Gegenbeispiel bringen.

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@zDieTaschenlampe

In diesem Ausdruck

$$  \sum_{k=0}^N (x_{k+m} - x_k ) = \sum_{k=N+1}^{N+m} x_k - \sum_{k=0}^{m-1} x_k $$

Beim Grenzübergang für \( N \to \infty \) verändert sich der zweite Term nicht, da er ja nicht von \( N \) abhängt. Beim ersten Summen hast Du eine Summe aus \( m \) Folgengliedern, die jedes für sich gegen den gleichen Grenzwert konvergiert, d.h. gegen \( m \) * Grenzwert. Daher der Faktor \( m \)

Wurde an der Aufgabenstellung noch was korrigiert? Vielleicht stellst Du mal einen Screenshot ein.

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Wenn du nicht selbst drauf kommst - ein Gegenbeispiel könnte z.B. so aussehen :

x_k :   1 , 2 , 3 , 4 , -10 , 1 , 2 , 3 , 4 , -10 , 1 , 2 , 3 , 4 , -10 , 1 , 2 , . . .

m = 5

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AHHHH jetzt seh ich s. Großer dank an dich und alle. Und nein mehr wurde nicht korrigiert.

Gruß