Reihe mit a_{k} := 1/((k+1)(k+3)) konvergiert. Wert bestimmen.

Question

Wie ermittle ich gegen was die Reihe konvergiert ?

a _ { k } : = \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 3 ) }

Answer 1

Partialbruchzerlegung:

wenn du mit dem Ansatz a((k+1)-b/ke3) = ((a-b)x + 3a-b ) ( (k+1)(k+3)

einen Koeffizientenvergleich mit deinem Termdurchführst, bekommst du

a = b = 0,5 als0

1 / ( (k+1)(k+3))   =  0,5/ (x+1) - 0,5 / (x+3)

dann formst du deine Summe um

$$ \sum_{k=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ (k+1)(k+3) }} $$
$$ \sum_{k=1}^{\infty}{\frac { 0.5 }{ k+1 }- \frac { 0.5 }{ k+3 }} $$
und jetzt ist es eine Teleskopsumme
$$ \sum_{k=1}^{\infty}{\frac { 0.5 }{ k+1 }}- \sum_{k=1}^{\infty}{\frac { 0.5 }{ k+3 }}$$
und wenn du für jede Summe mal die ersten 5 Summanden aufschreibst, dann siehst du,
dass die sich fast alle gegenseitig wegheben, es bleibt nur übrig
$$\frac { 0.5 }{ 1+1 } +\frac { 0.5 }{ 2+1 } = \frac { 5 }{ 12 }$$
das ist der Grenzwert.

Answer 2

du machst zuerst eine Partialsummenzerlegung der Summanden:

$$ a_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right) $$

Gruß