Quadratzahlen Beweisfrage

Question

Warum haben alle Quadratzahlen (z.Bsp. 14²=196) mit einem ungeraden Zehner (196) eine Sechs hinten stehen?

Answer 1

13^2 = 169 hat eine 9 am Ende

Nur zahlen deren Einerziffer eine 4 oder 6 haben enden beim quadrieren auf einer 6.

Comments

6 ist gerade.

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@Spacko Ich habe gemeint wenn vom Ergebnis des Quadrats in der Zehnerstelle eine ungerade Zahl steht

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Was bei 169 der Fall ist?

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Ach jetzt verstehe ich erst richtig was du meintest. Ok dann will ich das mal Analysieren

quadriert man eine zweistellige Zahl, dann ergibt sich nach den binomischen Formeln

(10·a + b)^2 = 100·a^2 + 20·a·b + b^2

100·a^2 hat erst einen Einfluss auf die Hunderterstelle und nicht auf die Zehnerstelle.

20·a·b = 2·a·b·10 gibt auf jedenfall eine gerade Zehnerziffer wegen dem Faktor 2.

Verbleibt also

b^2

0, 1, 2, 3 geben maximal 9 für die Einerziffer.

4^2 liefert 16 und damit einen Einer von 6 aber auch einen ungeraden Zehner.

5^2 liefert 25, also keine 6 und auch einen Geraden Zehner

6^2 liefert 36 und damit hinten eine 6 und einen ungeraden Zehner

7^2 = 49 keine 6 und einen geraden Zehner

8^2 = 64 keine 6 als Einer und auch einen geraden Zehner

9^2 = 81 keine 6 als einer und auch einen geraden Zehner.

Damit hat man allgemein gezeigt das nur Quadratzahlen mit 6 als einer einen ungeraden Zehner besitzen.

Übrigens hatte ich mir darüber nie Gedanken gemacht. Danke für die Aufgabe.

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Vielen Dank ebenfalls!

Answer 2

Ach, jetzt verstehe ich :

Es geht darum, dass man eine Quadratzahl deren 10er-Stelle ungerade ist.  Die haben immer

als Einerstelle eine 6.

Bew: Die Zahl kann man dann ja so schreiben 100a+10b+c und b ist ungerade

und es gibt x∈N und y∈{0...9} mit (10x+y)^2 =  100a+10b+c

 ==> 100x^2 + 20xy + y^2  =  100a+10b+c

Weil  100x^2 + 20xy auf 0 endet und eine gerade Zehnerstelle hat

[ Denn es ist durch 20 teilbar   100x^2 + 20xy=20*(5x^2 + xy)   ]

wird die letzte Ziffer durch y^2 bestimmt. Damit das

Ergebnis 100a+10b+c eine ungerade Zehnerstelle hat muss das y^2 aber seinerseits

eine ungerade Zehnerstelle haben, da  100x^2 + 20xy  eine gerade Zehnerstelle hat .

Für das y kommen aber nur 0 bis 9 in Frage und da gibt es eine ungerade

Zehenerstelle bei y^2 nur für y=4 ( y^2=16) oder y=6 (y^2=36)

Und damit ist die Einerstelle immer 6

Comments

Aber da wäre die Zehnerstelle doch ungerade... 3025

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.... du meinst gerade...

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Sehr schön             :-)

Answer 3

Drehen wir die Geschichte mal um. Ein 6 steht nur hinten, wenn die quadrierte Zahl auf 4 oder auf 6 endet.

Nun ist (10n+4)² = 100n²+80n+16 oder besser 100n²+80n+10+6=10(10n²+8n+1)+6, damit ist die Zehnerziffer ungerade.

Für (10n+6)² bekommst du den entsprechenden Weg bestimmt auch hin.

Comments

Die Frage ist aber umgekehrt gestellt. 10er-Ziffer ungerade → Einerziffer 6.

Du hast gezeigt: Einerziffer 6 → 10er-Ziffer ungerade.

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Die Frage ist aber umgekehrt gestellt.

Das ist korrekt. Ich hatte nicht die Absicht, die Aufgabe komplett zu lösen.

Answer 4

Hallo Susi,

Da kannst jede (positive) Zahl \(x\) zerlegen in \(x=10a+b\) mit \(a,b \in \mathbb N\) und \(0 \le b \le 9\). Ich betrachte das Quadrat dieser Zahl$$x^2 = (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$$Für die letzte und vorletzte Stelle (der Dezimalzahl) des Quadrats ist nur der Term \(20ab+b^2\) relevant. Das \(20ab = 2 \cdot 10ab\) resultiert immer in einer geraden Ziffer an vorletzter Stelle. Folglich muss die ungerade Ziffer von \(b^2\) kommen. Wenn man sich die Quadrate von \(0\) bis \(9\) anschaut, dann haben nur \(4^2=16\) und \(6^2=36\) eine ungerade Ziffer an vorletzter Stelle.

D.h. nur das Quadrat von Zahlen \(x\) mit einer Ziffer \(4\) oder einer \(6\) am Ende, haben in der vorletzten Stelle eine ungerade Ziffer und beide enden auf \(6\).

Gruß Werner

Comments

Schön gemacht, allerdings sollten einige "Zahlen" wohl "Ziffern" sein.   :-)

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Schön gemacht, allerdings sollten einige "Zahlen" wohl "Ziffern" sein.  :-)

.. habe ich überarbeitet.