Question

Mod Rechnen Beweisen Sie, dass für alle ungeraden Quadratzahlen gilt 

$$ \underline { q } \quad \equiv \quad \underline { 1 } mod8 $$

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z.Z. $$ x^2 mod 2 \neq  0 =>$$ $$ \underline { 1 } \quad \equiv \quad x^2  mod8 $$

^stimmt diese Annahme? ^

$$ p:= x^2 mod 2 \neq  0 => x^2 \neq 2n$$

$$q:= \underline { 1 } \quad \equiv \quad x^2  mod8 => x^2 = 8n$$

$$ x^2 = 8n => n = x^2/8$$

$$ x^2 \neq 2n$$

$$ x^2 \neq 2(x^2/8)$$

$$ 8x^2 \neq 2x^2$$

$$ 4x^2 \neq x^2$$

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Wahrscheinlich gehe ich den komplett falschen weg, Stimmen meine Aussagen überhaupt?

Wie würde man hier vorgehen?

MFG

Comments

\(q=4n\pm1\Rightarrow q^2=16n^2\pm8n+1\equiv1\bmod 8\).

Answer 1

immer wenn man nur ganz bestimmte Zahlen untersuchen will, versucht man diese durch eine Formel darzustellen. Man setzt \( k \in \Bbb Z \). Dann sind z.B.

\( 2k \) die geraden Zahlen

\( 2k+1 \) die ungeraden Zahlen

Wenn eine Quadratzahl \( q \) ungerade sein soll, muss auch die eigentliche Zahl ungerade sein, das führt zu \( q = (2k+1)^2 \).

Grüße,

M.B.

Answer 2

(2·n + 1)^2

= 4·n^2 + 4·n + 1

= 4·(n^2 + n) + 1

= 4·(n·(n + 1)) + 1

n·(n + 1) ist das Produkt zweier aufeinanderfolgende Zahlen, und davon muss eine gerade sein. Damit enthält das Produkt den Faktor 2

Damit enthält 4·(n·(n + 1)) den Faktor 4 und den Faktor 2 und damit den Faktor 8.

Damit ist der Rest bei Teilung durch 8 immer eins.

Comments

könnten sie noch etwas text zu (2·n + 1)²  hinzufügen? 

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Vielleicht: "Ausmultiplizieren mit Hilfe der binomischen Formel."

Langt das als Text. Ansonsten könntest du etwas Text hinzufügen, was du genau nicht verstehst?

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ich frage mich wie du auf (2n+1)^2 kommst