Question

Sei k ein endlicher Körper, d.h. einer, der nur endlich viele Elemente
hat. Sei N = |k|. Zeigen Sie: jeder d-dimensionale k-Vektorraum hat genau N^d Elemente.

Könnte mir hier bitte jemand helfen ?

Comments

Wenn (v1, ..., vd) eine Basis ist, wie sehen dann die Vektoren des VR aus?

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Naja die Einheitsvektoren von v1 bis vd. Kommt halt auf die Dimension an

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Ich habe dir unten eine Antwort hinterlassen, mit der du zum Ziel kommen solltest. Ich war mir nicht sicher, ob du selber auf einen guten Ansatz kommst, deshalb habe ich ihn dir gegeben. Der Denkvorgang ist wichtig, deshalb schreibe ich kurz einige Dinge, die ich mir beim Denken der Aufgabe gedacht habe. Es geht darum, wieviele Elemente eine Menge hat, da muss man häufig irgendwelche Bijektion zu Mengen finden, deren Mächtigkeit du schon kennst. Die einfachste Menge, die N^d Elemente hat, die mir einfällt, ist eben k^d, und dann diese Abbildung zu sehen ist Erfahrung bzw. den Trick kennt man einfach. Genau deshalb dir bitte dieses Werkzeug einprägen, das wirst du garantiert noch brauchen!

Answer 1

Sei \(k\) ein endlicher Körper und \(V\) ein \(d\)-dimensionaler \(k\)-Vektorraum. Wähle eine Basis \(B=(b_1,\ldots,b_d)\) von \(V\), definiere eine Abbildung \(f:V\to k^d\) folgendermaßen: Schreibe einen Vektor \(v\in V\) als \(v=\sum\limits_{i=1}^{d}\lambda_i\cdot b_i\) für \(\lambda_i\in k\). Jetzt schicke \(v\) einfach auf seine \(B\)-Koordinaten, d.h. \(f(v):=(\lambda_1,\ldots,\lambda_d)\).

Diese Abbildung ist wohldefiniert (wieso?), injektiv und surjektiv (wieso?), also insgesamt eine Bijektion von Mengen. Daraus kannst du folgern, dass \(|V|=|k^d| = N^d\). Die Abbildung ist sogar linear, also ein Isomorphismus von Vektorräumen, das ist aber für diese Aufgabe irrelevant. Diese Abbildung merken, die wird dir häufiger über den Weg laufen!