In welchem Verhältnis teilt die Normalparabel die Fläche des Rechtecks ABCD?

Question

Zeichnen Sie das Rechteck ABCD mit A(0; 0), B(2; 0). C(2; 4) und D(0; 4). In welchem Verhältnis teilt die Normalparabel (Graph der Funktion f(x) = x^2) die Fläche des Rechtecks?

Mathematik, Analysis, Klasse 11

Answer 1

Fläche unterhalb der Normalparabel
f ( x ) = x^2
Stammfunktion
S ( x ) = x^3/3
Fläche zwischen 0 und 2
2^3 / 3 = 8 / 3
Fläche Rechteck
l * b = 2 * 4 =  8

Restfläche oberhalb der Kurve : 8 minus 8/3

24/3 minus 8/3 = 16/3
Verhältnis : (16/3) / (8/3) : 2 zu 1

Answer 2

Aloha :)

Die Breite des Rechtecks ABCD ist 2 und die Höhe ist 4. Daher ist seine Fläche \(F_R=2\cdot4=8\).

Die Parabel \(y=x^2\) teilt diese Recheckfläche in zwei Bereiche, einen linken und einen rechten. Der rechte Bereich ist die Fläche, die unterhalb der Parabel mit der x-Achse eingeschlossen wird:$$F_{rechts}=\int\limits_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}$$Die Fläche links ist daher:$$F_{links}=8-\frac{8}{3}=\frac{24}{3}-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$Das Teilungsverhältnis ist damit:$$\frac{F_{links}}{F_{rechts}}=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{16}{8}=2$$Die linke Fläche ist daher doppelt so groß wie die rechte Fläche.

~plot~ 1x^2 ; 4*(x<=2)*(x>=0) ; [[-0,1|3,2|-0,1|4,5]] ~plot~