In welchem Verhältnis teilt der Graph der Funktion f(x) =1/4x^2 den Flächeninhalt des Quadrates ABCD?

Question

In welchem Verhältnis teilt der Graph der Funktion f(x) =1/4x^2 den Flächeninhalt des Quadrates mit den Eckpunkten A(0; 0), B(2; 0), C(2; 2) und D(0; 2)?

Analysis, Mathematik, Klasse 11

Answer 1

Aloha :)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Kantenlänge \(2\) ist \(F_Q=2^2=4\).

Die Fläche unterhalb der Parabel innerhalb des Quadrates ist:$$F_{P,unten}=\int\limits_0^2\frac{1}{4}x^2dx=\left[\frac{x^3}{12}\right]_0^2=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$Die Fläche oberhalb der Parabel aber innerhalb des Quadrates ist daher:$$F_{P,oben}=4-\frac{2}{3}=\frac{12}{3}-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$$Das Teilungsverhaltnis ist also:$$\frac{F_{P,oben}}{F_{P,unten}}=\frac{\frac{10}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{10}{2}=5$$Die Fläche oberhalb der Parabel ist 5-mal so groß wie die Fläche unterhalb der Parabel.

~plot~ 1/4x^2 ; 2*(x<=2)*(x>=0) ; [[0|3,2|0|2,5]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

der Graph schneidet das Quadrat in den Punkten A und P (2|1).

Du berechnest das Integral im Intervall [0;2] und setzt es in Beziehung zu dem Flächeninhalt des Quadrates.

Answer 3

So sieht da aus:

Die Flächen sind daher \( \int\limits_{0}^{2} \)x²/4 dx und 4 -  \( \int\limits_{0}^{2} \)x²/4 dx.

Answer 4

Schaffst du es in dem Quadrat die Flächen auszurechnen?

Comments

Ja das sollte ich schaffen ;)

Answer 5

Zuerst eine Zeichung machen

Man sieht ein Quadrat mit der Fläche Aq=a²=2²=4FE (Flächeneinheiten)

mit f(2)=1/4*2²=1 schneidet die Senkrechte BC  bei x=2 und y=1

F(x)=Integral(1/4*x²*dx=1/4*Int.(x²*dx)=1/4*x^(2+1)*1/(2+1)+C

F(x)=1/12*x³+C

A=obere Grenze minus untere Grenze  die Integrationskonstante C fällt dabei weg

xo=2 und xu=0

A=(1/12*2³)-(1/12*0³)=(8/12)-(0)

A=8/12=2/3 FE

Aq/A=4/(2/3)=4/2*3=6