Zu 1.)
f(x) = 1/2·(- x^4 + 2·x^3 + x) = - 0.5·x^4 + x^3 + 0.5·x
f'(x) = - 2·x^3 + 3·x^2 + 0.5
f''(x) = 6·x - 6·x^2
Wendestellen f''(x) = 0
6·x - 6·x^2 = 0
x = 1 ∨ x = 0
Wendetangenten
t1(x) = f'(0) * (x - 0) + f(0) = 0.5·x
t2(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1) = 1.5·x - 0.5
Skizze
∫ (0 bis 0.5) (x - 0.5·x) dx = 0.0625
∫ (0.5 bis 1) (x - (1.5·x - 0.5)) dx = 0.0625
A_Dreieck = 0.0625 + 0.0625 = 0.125
∫ (0 bis 1) (x - (- 0.5·x^4 + x^3 + 0.5·x)) dx = 0.1
Anteil: 0.1 / 0.125 = 4/5
Das Dreieck wird im Verhältnis von 4 zu 1 geteilt.
Zu 2.)
Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in W=(4/4) den Wendepunkt W mit der Wendetangente tw: y = -3x+16 und verläuft durch den Punkt P=(0/0). Wie lautet die Funktionsgleichung?
f(4) = 4 || Der Funktionswert im Wendepunkt ist als Punkt vorgegeben
f'(4) = -3 || Die Steigung muss am Wendepunkt der Steigung der Wendetangente entsprechen
f''(4) = 0 || Die Krümmung muss 0 sein weil wir hier einen Wendepunkt haben
f(0) = 0
Die Gleichungen
64a + 16b + 4c + d = 4
48a + 8b + c = -3
24a + 2b = 0
d = 0
Funktion
f(x) = 0,25·x3 - 3·x2 + 9·x
Zu 3.)
Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades geht durch den Punkt P=(0/-6,25) und hat bei x = -1 eine Nullstelle, bei x = 3 eine Wendestelle mit der Steigung 3. Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung f(x) = 1/4 ⋅ (−x^3 + 9x^2 −15x − 25) lautet.
Eigentlich langt es wenn man bei zeigen sie zeigt das die Funktion die Bedingungen erfüllt. Ich stelle aber trotzdem mal die Bedingungen und Gleichungen auf.
f(0) = -6.25
f(-1) = 0
f''(3) = 0
f'(3) = 3
d = -6,25
-a + b - c + d = 0
18a + 2b = 0
27a + 6b + c = 3
f(x) = -0,25·x^3 + 2,25·x^2 - 3,75·x - 6,25 = 1/4·(- x^3 + 9·x^2 - 15·x - 25)
Damit ist das gezeigt und sogar hergeleitet.
