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In welchem Verhältnis teilt der Graph der Funktion f(x) = x+3 die von den Graphen der Funktionen g(x) = -x^2 + 9 und h(x) =x^2-9 eingeschlossene Fläche? (Fertigen Sie eine Skizze an!)

Mathematik, Klasse 11, Analysis

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Ist h(x) richtig oder soll es heißen h(x) = x2 - 9

2 Antworten

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Hm. Schaffst du keine Skizze alleine

blob.png

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Am einfachsten jetzt einmal die gesamte eingeschlossene Fläche berechnen

Und dann die blaue Fläche berechnen.

Dann die grüne Fläche berechnen.

Als letztes das Verhältnis bilden.

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Aloha :)

~plot~ x+3 ; -x^2+9 ; x^2-9 ; [[-5|5|-10|10]] ~plot~

Wir bestimmen zunächst die Gesamtfläche \(F_{ges}\), die von den beiden Parabeln eingeschlossen wird. Wegen der Symmetrie der Gleichungen, teilen die Koordinatenachsen die Fläche in 4 gleich große Teile. Wir berechnen den Teil rechts oben und multiplizieren das Ergebnis mit \(4\):$$F_{ges}=4\int\limits_0^3\left(-x^2+9\right)dx=4\left[-\frac{x^3}{3}+9x\right]_0^3=4(-9+27)=72$$Jetze berechnen wir den oberen Teil der Fläche, den die Gerade \(f(x)=x+3\) aus der Gesamtfläche \(F_{ges}\) herausschneidet. Dazu benötigen wir die Differenzfunktion \(d(x)\) und deren Nullstellen als Integrationsgrenzen:$$d(x):=f(x)-g(x)=x+3-(-x^2+9)=x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$Wir müssen also die Differenzfunktion in den Grenzen von \(-3\) bis \(2\) integrieren:$$F_{oben}=\left|\int\limits_{-3}^2d(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_{-3}^2(x^2+x-6)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x\right]_{-3}^2\right|=\frac{125}{6}$$Der untere Teil der Fläche ist daher:$$F_{unten}=F_{ges}-F_{oben}=72-\frac{125}{6}=\frac{432}{6}-\frac{125}{6}=\frac{307}{6}$$Das Verhätnis der beiden Flächen ist daher:$$\frac{F_{unten}}{F_{oben}}=\frac{\frac{307}{6}}{\frac{125}{6}}=\frac{307}{125}=2,456$$Die untere Fläche ist \(2,456\)-mal größer als die obere Fläche.

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