Gemeinsame Punkte einer Gerade in Parameterdarstellung

Question

folgende Aufgabe möchte ich lösen:

Gegeben sind für jedes a∈IR die Geraden g_a: x= (\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\a \end{pmatrix} \) +s \( \begin{pmatrix} -1\\3\\a-3\end{pmatrix} \)

Alle Geraden gehen durch einen gemeinsamen Punkt. Ermittle dessen Koordinaten.

Meine Idee war es, die  dritte Zeile, mit zwei unterschiedlichen Parametern gleichzusetzen:

a+s(a-3)=b+s(b-3)

a+sa-3s=b+sb-3s  /+3s

a+sa=b+sb  /-b+sb

a+sa-b-sb=0

An dieser Stelle komme ich mit ausklammern aber nicht mehr weiter.

Wenn, ich es richtig verstanden habe, brauche ich ein Ergebnis für S, welches ich in die Geradengleichung einsetze, um den gemeinsamen Punkt zu erhalten.

Ich bedanke mich für jede Hilfe,

LG

Answer 1

Aloha :)

Deine Idee ist prima. Da sich aber alle Geraden in einem Punkt schneiden, reicht es aus, 2 bestimmte zu betrachten, z.B. die für \(a=0\) und \(a=3\):$$\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-1\\3\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\3\\0\end{array}\right)$$Aus der letzten Gleichung folgt sofort \(s=-1\) und damit der gemeinsame Schnittpunkt:$$S(2|-4|3)$$

Comments

Vielen Dank, genau das habe ich mir gedacht und auch gemacht. Ich hatte allerdings Zweifel, da ich dachte ich muss es allgemein mit a formulieren.

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Ich würde immer alle Infos aus der Aufgabenstellung ausnutzen, besonders wenn sie dir (wie hier) die Lösung einfacher machen. Deswegen hast du genau richtig gedacht!

Viel Glück fürs Abi... \o/

Answer 2

Hallo,

a+sa-b-sb=0
An dieser Stelle komme ich mit ausklammern aber nicht mehr weiter.

sicher kommst Du weiter.

Wenn, ich es richtig verstanden habe, brauche ich ein Ergebnis für S

Völlig richtig - isoliere \(s\) $$\begin{aligned} a+sa-b-sb&=0 \\ s(a-b) &= b-a && \left| \, \div (a-b)\right. \\ s &= -1 \end{aligned}$$Damit ist auch gezeigt, dass dies der gemeinsame Punkt aller Geraden ist. Und nicht nur der für \(a=0\) und \(a=3\).

Gruß Werner

Answer 3

ich würde s=1 setzen und den Punkt ausrechne

Diesen Punkt kann man dann in alle Geraden als Stützpunkt (Stützvektor) einsetzen

Zwamgläufig müssen dann alle Geraden durch diesen Punkt gehen.