Diese Aufgabe ist Teil meines Übungsblatts.
Mit Aufgaben Teil A hatte ich überhaupt kein Probleme, an der B sitze ich jetzt allerdings schon Ewigkeiten und komme auf kein sinnvolles Ergebnis.
Ich habe zunächst C1 als EigenVektor zum Eigenwert 1 aufgestellt und diesen dann normiert.
Danach habe ich 6 Gleichungen aufgestellt. Drei, weil die Vektoren c1 c2 und c3 jeweils orthogonal zueinander sind, also multipliziert 0 ergeben, eine für die determinate=1 und zwei, weil der Betrag von c2 und c3 Gleich 1 sein muss.
Damit habe ich 6 Gleichungen für 6 unbekannte (je drei Werte für die Vektoren c2 und c3, c1 ist ja bereits bekannt).
Ist das Vorgehen so richtig? Ich komme nämlich auf kein Ergebnis. Wie macht man es denn sonst?
Über jede Idee bzw. Hilfe wäre ich sehr froh!
Aufgabe:
Es sei folgende reelle Matrix gegeben:
$$ B=\frac{1}{3} \cdot\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & -2 \end{array}\right) \in M(3 \times 3, \mathbb{R}) $$
(a) Zeigen Sie, dass die Matrix \( B \) orthogonal ist und die Determinante 1 hat.
(b) Nach Lemma 14.13 beschreibt sie daher eine Drehung. Wegen \( B \neq E_{3} \) ist es eine , ,echte" Drehung ( echt : \( \neq \) id) mit bis auf die Orientierung eindeutiger Drehachse \( \mathbb{R} \cdot c_{1}, \) wobei \( c_{1} \) ein normierter Eigenvektor von \( B \) zum Eigenwert 1 ist. Nach Wahl der Orientierung ist auch der Winkel \( \alpha \neq 0 \) eindeutig. Bestimmen Sie eine \( O N \) -Basis \( \left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) \) von \( M(3 \times 1, \mathbb{R}), \) so dass \( c_{1} \) ein Eigenvektor von \( B \) mit Eigenwert 1 ist und \( c_{2} \) und \( c_{3} \) die dazu orthogonale Ebene aufspannen und so dass die orthogonale Matrix \( T \in O(3, \mathbb{R}) \) mit Spalten \( c_{1}, c_{2}, c_{3} \) Determinante 1 hat, also in \( S O(3, \mathbb{R}) \) liegt.
