Aloha :)
1) Bestimmung der Drehachse \(\vec n\)
Wir bestimmen zuerst die Drehachse \(\vec n\). Ein Vektor \(\vec x\) zeige vom Ursprung aus auf den zu drehenden Punkt. \(\vec x'\) sei dieser Vektor nach der Drehung. Den Vektor \(\vec x\) kannst du in einen Anteil parallel und einen Anteil senkrecht zur Drehachse \(\vec n\) zerlegen:$$\vec x=\vec x_\parallel+\vec x_\perp\quad;\quad \vec x_\parallel=\left(\,\vec n\cdot\vec x\,\right)\cdot\vec n\quad;\quad\vec x_\perp=\vec x-\vec x_\parallel$$
Der parallele Anteil \(\vec x_\parallel\) bleibt bei der Drehung ungeändert.$$\vec x'=\vec x_\parallel+\vec x'_\perp\quad;\quad \vec x'_\parallel=\vec x_\parallel$$Die Differenz von gedrehtem Vektor und ungedrehtem Vektor liefert uns also einen Differenzvektor, der orthogonal zur Drehachse steht:$$\vec x'-\vec x=(\vec x_\parallel+\vec x'_\perp)-(\vec x_\parallel-\vec x_\perp)=\vec x'_\perp-\vec x_\perp\;\perp\;\vec n$$
Wir haben hier 2 konkrete Drehungen gegeben und können daraus zwei Vektoren bestimmen, die orthogonal zur Drehachse \(\vec n\) stehen:$$\vec v_\perp=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_\perp=\begin{pmatrix}\frac13\\[1ex]\frac43\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac23\\[1ex]\frac13\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$$
Die Drehachse steht orthogonal zu beiden und ist normiert auf die Länge \(1\):$$\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec n=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$
Diese Drehachse ist der Normalenvektor der Drehebene, die damit auch klar ist.
2) Bestimmung der Drehmatrix \(A\)
Wir wissen nun, wie die Drehmatrix \(A\) auf drei Vektoren wirkt:$$A\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13\\[1ex]\frac43\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}\quad;\quad A\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\end{pmatrix}$$
Das fassen wir zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$A\begin{pmatrix}2 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & 0 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & \frac43 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}$$und bestimmen daraus die Drehmatrix$$A=\begin{pmatrix}2 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & \frac43 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & \frac13 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]0 & 1 & \frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]1 & 0 & \frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}^{-1}=\frac13\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2\\2 & 2 & -1\\-1 & 2 & 2\end{array}\right)$$
3) Bestimmung des Drehwinkels \(\alpha\)
In (1) haben wir einen zur Drehachse orthogonalen Vektor \(\vec v_\perp=(0;1;-1)^T\) bestimmt. Wir bestimmen den Winkel \(\alpha\) zwischen ihm und seiner gedrehten Version:$$\cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\cdot A\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\|\left\|A\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\|}=\frac{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\|\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right\|}=\frac{1}{\sqrt2\,\sqrt2}=\frac12$$Der Drehwinkel ist also:\(\quad\alpha=\arccos(\frac12)=60^\circ\)
