Aufgabe:
Es sei n∈ℕ und xn:= \( 2^{(-1)^{n}-n} \). Nun soll ich zeigen, dass der Grenzwert der Reihe:
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{x_n} \) (es soll xn sein)
existiert
Problem/Ansatz:
Ich habe das Problem mit dem Wurzelkriterium gezeigt: Durch Umformungen kam ich auf:
\( \sqrt[n]{|2^{(-1)^{n}-n}|} \) = \( 2^{\frac{(-1)^{n}}{n}-1} \)
Ursprünglich hatte ich das Wurzelkriterium mit dem Limes gelernt. Dann wäre klar nach Limes regeln, dass der Bruch gegen 0 geht. Also alles gegen 1/2. Jedoch hat der neue Dozent das Kriterium anders definiert und jetzt weiß ich nicht genau, wie ich es damit formal zeige. Ich hoffe ihr könnt mir das zeigen. Das Kriterium:
∃q∈ℝ, 0≤q<1 ∃N∈ℕ ∀N≥n: \( \sqrt[n]{|xn|} \)≤q (es sollte xn sein)
Danke.