Zeigen Sie, dass die Reihe \sum\limits_{k=1}^{\infty}{k} ak*x^k für |x| R divergiert.

Question

Aufgabe: Thema: Konvergenz von Reihen: Es sei (ak)k∈N eine Folge reeller Zahlen mit

lim
k→∞ _{ak/(ak+1) = R}

für eine reelle Zahl R > 0.

Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) ak*x^k für  |x| < R konvergiert und für |x| > R divergiert.

Problem/Ansatz: Mein Ansatz ist aufgrund des Grenzwertes das Folgeelement ak+1= ak/R zu schreiben und dann die Folge ak zu schreiben als ak = a0/R^k. Da das Multiplizieren mit R das nächste Glied erzeugt. Dann hätte ich in der Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \)  a0/(R^k)*x^k. Erstmal, ist das so richtig? Und wenn ja, wie kann ich jetzt die Entscheidung zwischen x<R, x>R bezüglich der Konvergenz machen? :)

Answer 1

Hallo

du hast ja a0*∑(x/R)^k  vergleiche das mit der geometrischen Reihe mit q=x/R, entweder hattet ihr, dass die für q>=1 divergiert, oder du kennst die Summe bis n und dann n->oo

aber leider gilt ja nur lim k→∞ (ak/(ak+1) )= R und NICHT: für alle k gilt (ak/(ak+1) )= R

aber auf die ersten Glieder einer Reihe kommt es ja nicht an, deshalb verwende was der lim für k>N_ε bedeutet .

hattet ihr das Quotientenkriterium nicht, dann kannst du auch darunter nachlesen.

Comments

Also darf ich die Aussage über den Grenzwert verwenden, wenn ich diese Einschränkung k>N_{ε} benutzte? Was bedeutet N_{ε}?

Und das sähe dann so aus:

für k>N_{ε}

a0\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \)(x/R)^k

Quotientenkriterium: \( \frac{x^(k+1)*R}{R^(k+1)*x} \) = q

=> \( \frac{x}{R} \) = q, für x<R -> q<1 -> Konvergenz

und umgekehrt.

Kann man das so machen?

:)

Answer 2

Falls ihr das Quotientenkriterium für Reihen kennt, dann folgt schnell:

Die Reihe \(b_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot x^k \) konvergiert absolut, wenn \(\left|\frac{a_{k+1}\cdot x^{k+1}}{a_k\cdot x^k}\right| = \left|\frac{a_{k+1}}{a_k} \cdot x \right| = \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\cdot |x| \xrightarrow{k\to \infty} C\) mit \(C<1\).

Falls \(C>1\) divergiert \(b_n\).

Im ersteren Fall folgt nach Voraussetzung, dass \(\frac{a_k}{a_{k+1}} \xrightarrow{k \to \infty} R\in \mathbb{R}^+\). Nach den Grenzwertsätzen folgt \(\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right| \xrightarrow{k \to \infty} R\) und \(\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \xrightarrow{k \to \infty} \frac{1}{R} \). Also folgt \(\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\cdot |x| \xrightarrow{k\to \infty} \frac{1}{R} \cdot |x| < 1\) für \(|x|<R\).

Analog wird argumentiert, dass \(b_n\) für \(|x|>R\) divergiert.

Comments

Alles klar, danke :)