Zeige, dass der Grenzwert der Reihe: \sum\limits_{n=1}^{\infty}{xn} existiert

Question

Aufgabe:

Es sei n∈ℕ und x_n:= \( 2^{(-1)^{n}-n} \). Nun soll ich zeigen, dass der Grenzwert der Reihe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{x_n} \) (es soll x_n sein)

existiert
Problem/Ansatz:

Ich habe das Problem mit dem Wurzelkriterium gezeigt: Durch Umformungen kam ich auf:

\( \sqrt[n]{|2^{(-1)^{n}-n}|} \) = \( 2^{\frac{(-1)^{n}}{n}-1} \)

Ursprünglich hatte ich das Wurzelkriterium mit dem Limes gelernt. Dann wäre klar nach Limes regeln, dass der Bruch gegen 0 geht. Also alles gegen 1/2. Jedoch hat der neue Dozent das Kriterium anders definiert und jetzt weiß ich nicht genau, wie ich es damit formal zeige. Ich hoffe ihr könnt mir das zeigen. Das Kriterium:

∃q∈ℝ, 0≤q<1 ∃N∈ℕ ∀N≥n: \( \sqrt[n]{|xn|} \)≤q (es sollte x_n sein)

Danke.

Comments

Dort steht im Prinzip nichts anderes als

$$ \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|x_n|} < 1 $$

Man findet ein q in [0,1) s.d. für fast alle n gilt \( 0 \le \sqrt[n]{|x_n|} \le q \), d.h. der größte Häufungspunkt der Folge (lim sup) muss ≤q<1 sein.

Wenn \(  \sqrt[n]{|x_n|} \) konvergent ist gilt $$ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|x_n|} =  \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|x_n|} $$

D.h. im konvergenten Fall kannst du auch mit dem Limes argumentieren.

Du könntest das auch sehr elemtar machen:

$$ \sqrt[n]{|x_n|} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2} \implies \exists N \forall n\ge N : |\sqrt[n]{|x_n|} - \frac{1}{2}| < \frac{1}{42} (= \varepsilon) $$

Also insb. \( \sqrt[n]{|x_n|} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{42} =: q < 1 \) für alle \( n \ge N \)

Answer 1

Ich hätte eher das Majorantenkriterium verwendet:

es ist \(2^{(-1)^n-n}=2^{-n}\cdot 2^{(-1)^n}\leq 2^{-n}\cdot 2\),

daher ist \(2\sum_{n=1}^{\infty}(1/2)^n\) eine (offenbar) konvergente Majorante.