Aufgabe zu einem endlichen Körper

Question

Sei K ein endlicher Körper.

Sei c Sei c Element K, c ungleich 0.

Zeigen Sie, dass es ein n Element N gibt mit c^n = 1.

Kann mir hier vielleicht jemand einen Ansatz geben, wie ich n wählen muss, dass diese Aussage passt.

Answer 1

Sei |K| = m.

Sei M = {c¹, c², ..., c^m}.

Dann ist |M| < m weil M ⊆ K\{0} ist (Körper sind nullteilerfrei).

Seien p < q ≤ m mit c^p = c^q.

Es ist c^p · 1 = c^q wegen Neutralität der 1.

Es ist c^p · c^q-p = c^q laut Potenzgesetzen.

Wegen eindeutiger Lösbarkeiten von Gleichungen ist dann

        c^q-p = 1.

Comments

super das ergibt Sinn. Vielen lieben Dank