Komplexe Zahlen Formel finden fürs berechnen von sin φ und cos φ eines Winkels

Question

ich habe eine Aufgabe bei der ich leider nicht weiter weiß.

Ich soll allgemeine Formeln zur Berechnung von sinφ und cosφ eines Winkelsφ  der Exponentialform einer geeigneten komplexen Zahl und ihrer komplex konjugierten Zahl finden. Als Hinweis wurde vorgegeben r=|z|=1.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen könnte kann mir hier jemand behilflich sein?

Mit freundlichen Grüßen

Markus

Answer 1

Aloha :)

Eine komplexe Zahl \(z\) kannst du in Polarform darstellen:$$z=r\,e^{i\varphi}=r\,(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cos\varphi+i\,r\sin\varphi$$Die komplex-konjugierte Zahl \(\overline z\) erhältst du, indem du das Vorzeichen des Imaginärteils änderst:$$\overline z=r\,e^{-i\varphi}=r\,(\cos\varphi-i\sin\varphi)=r\cos\varphi-i\,r\sin\varphi$$Wir schauen uns die Summe und die Differenz von \(z\) und \(\overline z\) an:

$$z+\overline z=(r\cos\varphi+i\,r\sin\varphi)+(r\cos\varphi-i\,r\sin\varphi)=2r\cos\varphi$$$$z-\overline z=(r\cos\varphi+i\,r\sin\varphi)-(r\cos\varphi-i\,r\sin\varphi)=2i\,r\sin\varphi$$Wenn du die erste Gleichung durch \(2r\) dividierst dun die zweite Gleichung durch \(2i\,r\), hast du die gesuchten Formeln:$$\cos\varphi=\frac{z+\overline z}{2r}\quad;\quad\sin\varphi=\frac{z-\overline z}{2i\,r}$$

Comments

vielen dank für ihre super Antwort, wieder ein mal!

Ich hätte da trotzdem eine Frage.

In der aufgabe stand ja als Hinweis, dass ich r=|z|=1 setzen soll.

Was hat es damit auf sich? Das Verstehe ich leider nicht.

Mit freundlichen Grüßen

Markus

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Damit ist gemeint, dass die Zahl \(z\) auf den Betrag \(1\) normiert sein soll. In diesem Fall ist dann \(r:=|z|=1\) und der Nenner wird einfacher:$$\cos\varphi=\frac{z+\overline z}{2}\quad;\quad\sin\varphi=\frac{z+\overline z}{2i}\quad;\quad\text{für }|z|=1$$Wenn die Zahl \(z\) dagegen nicht den Betrag \(1\) hat, sondern allgemein den Betrag \(r\), taucht das \(r\) im Nenner auf:$$\cos\varphi=\frac{z+\overline z}{2r}\quad;\quad\sin\varphi=\frac{z+\overline z}{2i\,r}\quad;\quad\text{für }|z|=r$$Die unteren Formeln sind allgemeiner. Bei den oberen muss man sich im Hinterkopf merken, dass \(|z|=1\) als Voraussetzung gelten muss.

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Vielen dank!!! Sie sind der beste !

Answer 2

Lies mal genau

Ich soll allgemeine Formeln zur Berechnung von sinφ und cosφ eines Winkelsφ  der Exponentialform einer geeigneten komplexen Zahl.

Weil dort steht "einer geeigneten" sind wohl nicht alle Zahlen geeignet.

Ebenso sollst du ja schon davon ausgehen das r = 1 ist.

Ich würde mich also mal auf Winkel konzentrieren die Vielfache von 30° = pi/6 oder von 45° = pi/4 sind.

Zeichne also den Einheitskreis. Die Winkel 0°, 90°, 180°, 270° und 360° sollten eh klar sein denke ich mal.

Ansonsten zeichnest du denn den Winkel φ ein. Ergänzt geschickt zu einem Dreieck und erklärst wie man auf den Sinus und Cosinuswert kommst.

Viel erklären brauchst du meist nicht. Ein geeignetes Bild sagt mehr als 1000 Worte.