\( -2 \cos \left(\frac{2 \pi}{9}\right) +2 \sin \left(\frac{2 \pi}{9}\right)\cdot j=2 \cos \left(\frac{7 \pi}{9}\right) +2 \sin \left(\frac{7 \pi}{9}\right)\cdot j \)
\( z \approx-1.53209 + 1.28558j \)
PS:
Ich merke gerade, dass du nach dem Hauptwert des Arguments gefragt hast und gar nicht nach den rechtwinkligen Koordinaten.
Mit dem Argument ist der Winkel gemeint, wenn der Faktor vor dem e positiv ist, also dem Betrag entspricht.
Vom Hauptwert spricht man, wenn der Winkel zwischen 0 und \(2\pi\) liegt. (In anderen Ländern oft zwischen \(-\pi\) und \(+\pi\).)
Bei der Aufgabe steht aber der negative Faktor -2 bzw. 2*(-1). Die (-1) muss also in den Exponentialanteil hinein gerechnet werden. Nun weißt du hoffentlich, dass \(-1=e^{j\pi}\) gilt.
Außerdem muss der Winkel -40° ins Bogenmaß umgerechnet werden.
\(-40^\circ=-~\frac{40}{180}\cdot\pi=-~\frac{2}{9}\cdot\pi\)
Also:
\(z = -2 e^{j(-40°)}=-2e^{j(-2\pi/9)}=2\cdot(-1)\cdot e^{j(-2\pi/9)}\\=2\cdot e^{j\pi }\cdot e^{j(-2\pi/9)}=2\cdot e^{j(7\pi/9)}\)
Der Hauptwert des Arguments ist also \(\frac{7}{9}\pi\).
