komplexes Fundamentalsystem in reelles FS umwandeln

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ein reelles FS

Problem/Ansatz:

i. x⁽⁶⁾ + 3x⁽⁴⁾ = 0

ii. x⁽⁴⁾ + 4x´´ + 4x = 0

Zu (i) habe ich die Eigenwerte 0 und i \( \sqrt[]{3} \)

Damit lautet das komplexe FS {e^0t,e ^{i \( \sqrt[]{3} \)t}}

Leider verstehe ich nicht ganz wie ich nun das FS in ein reelles FS umwandle.

Answer 1

Hallo,

Aufgabe i)

Du hast insgesamt 6 Eigenwerte:

λ^6 +3λ^4=0

λ^4(λ^2 +3)=0

λ_1.2.3.4 =0

λ^2 +3=0

λ^2 = -3 

λ_5,6  =± √-3  =± √-1 √ 3 =± i √3 ------------->√-1=i

λ_5.6=±i √3

Umwandlung vom Komplexen erfolgt durch die Eulerbeziehung:

e^(α+ iβ) = e^(α)  *  cos (β)+ i e^(α) * sin(β)

Lösung:

FS {1 ,t ,t^2, t^3 ,cos(√3 t) ,sin (√3 t) }

Comments

Hallo,

danke für die Antwort.

Habe alles verstanden bis zum Punkt mit der Euler-Beziehung.

Wie kann ich herausfinden, ob es sich um +i \( \sqrt[]{3} \) handelt oder -i \( \sqrt[]{3} \) ?

MfG

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siehe oben geändert

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Hi,

Danke für die Hilfe.

Leider habe ich noch eine Frage zum reellen FS.

Wir haben ja bei den letzten zwei Eigenwerte die komplexen FS:

e^{±i\( \sqrt{3} \)t}

Aber es ist ja eine doppelte Nullstelle.

Und in die Euler-Beziehung eingefügt erhalten wir doch:

e⁰*cos(\( \sqrt{3} \) )+ i*e⁰*sin(\( \sqrt{3} \) )

Das wäre dann:

cos(\( \sqrt{3} \) )+ i*sin(\( \sqrt{3} \) )

Ist jetzt so die Regel, dass Real- und der Imaginärteil jeweils in das FS eingetragen werden oder wie kommt man auf das FS?

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Wenn Du das λ in die Eulerbeziehung einsetzt , verschwindet das i .

Du bekommst + C₅ cos(√3 *t) + C₆ sin(√3 *t) direkt nach dem Ausrechnen,

Das C entfällt ja beim FS.

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Achso, danke jetzt habe ich das verstanden.

Kurze Frage zu ii:

Ist x´´=x²

^{Oder ist das was ganz anderes?}

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Ist x´´=x^2 ->nein , ist halt x''