Aloha :)
Du suchst Lösungen der Gleichung \(\vec y\,'(x)=A\cdot\vec y(x)\). Wenn du einen Eigenwert \(\lambda\) und den dazugehörigen Eigenvektor \(\vec v\) kennst, hast du mit \(\vec y=\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}\) eine passende Lösung gefunden, denn Ableiten ergibt:$$\vec y\,'(x)=\lambda\cdot\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}$$und weil \(\vec A\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v\) gilt auch:$$A\cdot\vec y(x)=A\cdot\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}=\lambda\cdot\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}$$In deinem Fall kannst du alle 3 Eigenwerte und Eigenvektoren zu einer Lösung linear kombinieren:$$\vec y(x)=A_1\cdot\lambda_1\,e^{\lambda_1\,x}\vec v_1+A_2\cdot\lambda_2\,e^{\lambda_2\,x}\vec v_2+A_3\cdot\lambda_3\,e^{\lambda_3\,x}\vec v_3$$$$\phantom{y(x)}=A_1\cdot4\,e^{4x}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)+A_2\cdot i\,e^{ix}\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right)-A_3\cdot i\,e^{-ix}\left(\begin{array}{c}-i\\1\\0\end{array}\right)$$Der Trick für das Ermitteln der reellen Lösungen liegt darin, dass die Koeffizienten \(A_i\in\mathbb{C}\) gewählt werden können. Man schafft sich die imaginäre Einheit "vom Hals", indem man fordert, dass \(A_3=A_2^\ast\) ist. Setzen wir$$A_2=a+ib\quad;\quad A_3=a-ib\quad;\quad a,b\in\mathbb{R}$$wird die erste Komponente zu:$$y_1(x)=A_2i^2e^{ix}+A_3i^2e^{-ix}=-\left(A_2e^{ix}+A_3e^{-ix}\right)$$$$\phantom{y_1(x)}=-\left((A_2+A_3)\cos x+i(A_2-A_3)\sin x\right)=\left(2a\cos x+i\,2ib\sin x\right)$$$$\phantom{y_1(x)}=-2a\cos x-2b\sin x$$und die zweite Komponente wird zu:$$y_2(x)=A_2\,i\,e^{ix}-A_3\,i\,e^{-ix}=i\left(A_2e^{ix}-A_3e^{-ix}\right)$$$$\phantom{y_2(x)}=i\left((A_2-A_3)\cos x+i(A_2+A_3)\sin x\right)=i\left(2ib\,\cos x+i\,2a\sin x\right)$$$$\phantom{y_2(x)}=-2b\cos x-2a\sin x$$Damit haben wir alles Imaginäre aus der Lösung entfernt:$$\vec y(x)=4A_1\left(\begin{array}{c}0\\0\\e^{4x}\end{array}\right)-2a\left(\begin{array}{c}\cos x\\\sin x\\0\end{array}\right)-2b\left(\begin{array}{c}\sin x\\\cos x\\0\end{array}\right)$$Da \(A_1,a,b\) beliebig gewählt werden können, können wir die Linearkombination auch mit anderen Konstanten schreiben:$$\vec y(x)=c_1\left(\begin{array}{c}0\\0\\e^{4x}\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}\cos x\\\sin x\\0\end{array}\right)+c_3\left(\begin{array}{c}\sin x\\\cos x\\0\end{array}\right)\quad;\quad c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}$$Die Vektoren sind das gesuchte Fundamentalsystem.
