Steckbriefaufgabe: Funktionsgleichung einer Parabel dritter Ordnung aufstellen

Question

Eine Parabel dritter Ordnung hat in den Punkten E1(-2/11) und E2(1/y) relative Extrema. Ferner geht sie durch den Punkt P(4/-9).

Man muss die koeffizienten a b c d finden. Kann mir jemand den lösungsweg mit dem gleichungsystem zeigen.

Danke

Comments

Vielen Dank euch allen. Ich hab den richtigen Rechenweg und das Gleichungssystem gehabt es geht mir nur um die Lösung die war nämlich im Buch a=1, b=3/2, c=-6, d=1; Muss sich wohl um einen Fehler handeln.

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Warum stellst du dann die Frage nicht entsprechend?

Stimmt denn P(4|-9)?

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@weisnix: Dies hier ist eine Steckbriefaufgabe. Habe deinen Tag Differenzialgleichung entfernt, da er nicht passte.

Answer 1

Schreibe mal zuerst die Funktion hin:

f(x) = a x³ + b x² + c x + d

und die Ableitungsfunktion:

f'(x) = 3 a x² + .............

Damit stellst du dann die notwendigen Gleichungen auf, etwa:

f(-2) = ............ = 11

f'(-2) = ............. = 0

usw.

Stelle also das Gleichungssystem selber auf, anstatt es dir vorführen zu lassen.

(anstatt dir einen Fisch zu geben, gebe ich dir lieber Tipps dafür, wie man eine Angelrute macht ...)

Comments

Danke für das Sternchen, das ich gar nicht unbedingt erwartet habe !

Answer 2

Eine Parabel dritter Ordnung hat in den Punkten $E_1(-2|11)$ und $E_2(1|y)$ relative Extrema. Ferner geht sie durch den Punkt $P(4|-9)$.

Ich verschiebe den Graphen um $11$ Einheiten nach unten:

$E_1(-2|11)$→ $E´_1(-2|0)$ Da ist nun eine doppelte Nullstelle:

$f(x)=a(x+2)^2(x-N)$

$P(4|-9)$→$P´(4|-20)$:

$f(4)=a(4+2)^2(4-N)=36a(4-N)$

$36a(4-N)=-20$    →   $9a(N-4)=5$    →   $a=\frac{5}{9N-36}$

$f(x)=\frac{5}{9N-36}[(x+2)^2(x-N)]$

$E_2(1|y)$ relatives Extremum

$f'(x)=\frac{5}{9N-36}[(2x+4)(x-N)+(x+2)^2]$

$f'(1)=\frac{5}{9N-36}[(2+4)(1-N)+(1+2)^2]=\frac{5}{9N-36}[15-6N]$

$\frac{5}{9N-36}[15-6N]=0$     →  $N=2,5$           $a=\frac{5}{9\cdot 2,5-36}=-\frac{10}{27}$

$f(x)=-\frac{10}{27}(x+2)^2(x-2,5)$

Jetzt um $11$ Einheiten nach oben:

$p(x)=-\frac{10}{27}(x+2)^2(x-2,5)+11$

Answer 3

Eine Parabel dritter Ordnung hat in den Punkten E1(-2/11) und E2(1/y) relative Extrema. Ferner geht sie durch den Punkt P(4/-9).

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

$$f(-2)=11\\f'(-2)=0\\f'(1)=0\\f(4)=-9$$

Answer 4

f (-2) = 11
f ' ( -2 ) = 0
f ' (1 ) = 0
f (4 ) = -9

f ( x ) = a * x³ + b*x² + c*x + d
f ' ( x ) = 3a * x² + 2b*x + c

-8a + 4b - 2c + d = 11
12a - 4b + c = 0
3a + 2b + c = 0
64a + 16b + 4c + d = -9

f ( x ) = -10/27 * x³ - 5/9 * x² + 20/9 * x + 397/27

Answer 5

f(-2)=11 heißt: -8a+4b-2c+d=11

f '(-2)=0 heißt: 12a-4b+c=0

f '(1)=0 heißt:  3a+2b+c=0

f(4)=-9 heißt:64a+16b+4c+d=-9

Löse das System. Setze a,b, c und d in f(x)=ax³+bx²+cx+d ein.