Für welche n ∈ N gilt die folgende Ungleichung: 2^n+4^n ≤ 5^n

Question

Hallo an Alle,

ich bin grad mit der Aufgabe "Für welche n ∈ N gilt die folgende Ungleichung: 2^n+4^n ≤ 5^n. Beweisen Sie Ihre Aussage." überfragt, weil diese Ungleichung nicht für n=1 gilt und deswegen keine vollständige Induktion möglich ist.

Wäre über Ansätze oder Beweiswege sehr dankbar. :)

Answer 1

Für n = 1 gilt es nicht

für n = 2 gilt es.

Hm. Verdacht es könnte für alle n >= 2 gelten. Kannst du das mittels vollständiger Induktion zeigen?

2^(n + 1) + 4^(n + 1) ≤ 5^(n + 1)

2 * 2^n + 4 * 4^n ≤ 5 * 5^n

2 * 2^n + 4 * 4^n ≤ 4 * 2^n + 4 * 4^n ≤ 4 * 5^n ≤ 5 * 5^n

Damit wäre das gezeigt oder nicht?

Comments

Ja, damit ist das gezeigt. Danke für die Hilfe!