Aloha :)
Der Erwartungswert ist nicht das Pendant zum arithmetischen Mittelwert. Der Erwartungswert \(\mu\) ist exakt. Um ihn zu berechnen, muss man alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes und die dazu gehörenden Wahrscheinlichkeiten kennen. Der Mittelwert \(\overline x\) basiert dagegen auf einer Stichprobe und ist deswegen mit einer Ungenauigkeit behaftet. Diese Ungenauigkeit wird umso geringer, je größer die Stichprobe ist. (Stichwort: Zentraler Grenzwertsatz).
Die Ungenauigkeit im Mittelwert \(\overline x\) pflanzt sich auch in die Varianz fort. Für die Varianz gibt es 2 bekannte Formeln, die immer wieder durcheinander geworfen werden:$$V(X)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\mu)^2\quad;\quad V(X)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\overline x)^2$$In der ersten Formel wird der exakte Erwartungswert \(\mu\) von den Messwerten \(x_k\) subtrahiert. In der zweiten Formel wird der Mittelwert \(\overline x\) als Näherung für den Erwartungswert \(\mu\) verwendet. Da der Mittelwert \(\overline x\) jedoch selbst eine Ungenauigkeit trägt, vergrößert das die Varianz. Deswegen steht vorne im Nenner nicht \(\frac{1}{n}\), sondern \(\frac{1}{n-1}\). Der um \(1\) verringerte Wert berücksichtigt also die Ungenauigkeit des Mittelwertes \(\overline x\).
Der Median hat nichts mit dem Erwartungswert zu tun. Dazu ein Beispiel. Du stellst 10 normale Menschen in eine Reihe und ordnest sie nach ihrem Vermögen \(v_1,v_2,v_3,\ldots,v_{10}\). Der Median ist \(m=\frac{v_5+v_6}{2}\). Der Mittelwert \(\overline v\) wird vom Median abweichen. Aber weil die Stichprobe recht homogen ist (10 "normale" Menschen) ist de Abweichung gering. Jetzt nehmen wir den 10-ten aus der Reihe raus und ersetzen ihn durch Bill Gates. Der Median des Einkommens bleibt ungeändert, aber der Mittelwert schießt duch das Milliardenvermögen von Bill Gates in die Höhe.
Median und Mittelwert sind unabhängig voneinander. Allerdings ist der Unterschied zwischen Median und Mittelwert ein Indikator für die Varianz innerhalb einer Stichprobe.
