Aufgabe:
(a) Seien \( V \) und \( W \) zwei \( K \) -Vektorräume. Für jedes \( f \in \operatorname{Hom}_{K}(V, W) \) definieren wir \( f^{*} \in \operatorname{Hom}_{K}\left(W^{*}, V^{*}\right) \) durch die Formel \( f^{*}(\varphi)=\varphi \circ f \) für alle \( \varphi \in W^{*} . \) Zeigen Sie
dass die Abbildung
$$ \begin{aligned} \Phi: \operatorname{Hom}_{K}(V, W) & \rightarrow \operatorname{Hom}_{K}\left(W^{*}, V^{*}\right) \\ f & \mapsto f^{*} \end{aligned} $$
ein \( K \) -linearer Isomorphismus ist
Ansatz/Frage:
Ich wollte nur mal sicher gehen, ob ich den richtigen Ansatz habe hier. Ich habe für die Injektivität.
Sei f,g ∈ Hom(V,W) mit f ≠ g, dann gilt
Φ(f) = φ°f ≠ φ°g = Φ(g)
Surjektivität.
Im(Φ) = Φ(HomK (V,W)) = HomK (W*,V*)
Ich will wissen ob ich da was nicht falsch gemacht habe. Ich bin mir aber nicht sicher, da es schon eine Zeit her war, dass ich Isomorphie gemacht habe. Danke für die Hilfe.
